[論文レビュー] Subgraphs Satisfying MSO Properties on z-Topologically Orderable Digraphs

Mateus de Oliveira Oliveira|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおけるz-トポロジカル順序を導入し、与えられたMSO₂論理式を満たし、k個の有向パスの和集合である部分グラフの個数を、f(φ,k,z)·n^{O(k·z)}時間で数えるアルゴリズムを提示する。主な貢献は、z-トポロジカル順序が有界である有向グラフにおけるMSO論理の新しいアルゴリズム的メタ定理の確立であり、これにより、無限大の無向木幅およびクライQUE幅をとる有向グラフに対しても多数の数え上げ問題が多項式時間で解けるようになる。

ABSTRACT

We introduce the notion of z-topological orderings for digraphs. We prove that given a digraph G on n vertices admitting a z-topological order- ing, together with such an ordering, one may count the number of subgraphs of G that at the same time satisfy a monadic second order formula ϕ and are the union of k directed paths, in time f (ϕ, k, z) * n^O(k*z) . Our result implies the polynomial time solvability of many natural counting problems on digraphs admitting z-topological orderings for constant values of z and k. Concerning the relationship between z-topological orderability and other digraph width measures, we observe that any digraph of directed path-width d has a z- topological ordering for z <= 2d + 1. On the other hand, there are digraphs on n vertices admitting a z-topological order for z = 2, but whose directed path-width is Θ(log n). Since graphs of bounded directed path-width can have both arbitrarily large undirected tree-width and arbitrarily large clique width, our result provides for the first time a suitable way of partially trans- posing metatheorems developed in the context of the monadic second order logic of graphs of constant undirected tree-width and constant clique width to the realm of digraph width measures that are closed under taking subgraphs and whose constant levels incorporate families of graphs of arbitrarily large undirected tree-width and arbitrarily large clique width.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおけるMSO₂性質を満たす部分グラフの数え上げのための新しいアルゴリズム的枠組みの開発。
• 無向グラフから有向グラフへのアルゴリズム的メタ定理の拡張、特に無限大の木幅およびクライQUE幅をもつ有向グラフを対象とする。
• MSOに基づく効率的なアルゴリズムを可能にする新しい有向グラフ幅測度「z-トポロジカル順序」の同定。
• z-トポロジカル順序、正則スライス言語、およびMSO論理の間の関係の確立。
• 従来のメタ定理の制限を克服するため、部分グラフに対して閉じた幅測度を用いるが、同時に高い無向木幅およびクライQUE幅を許容する。

提案手法

• 各有向パスが頂点順序を高々z回しか crosses しないようなz-トポロジカル順序の概念を導入。
• スライス理論とスライスグラフを用いて、有向グラフとMSO性質をスライスアルファベット上の正則言語で表現。
• 与えられたMSO₂論理式を満たし、かつk個の有向パスの和集合であるような、ズイーガ-ナンバー ≤ z であるグラフを正確に捉えるz-拡張飽和スライスグラフを構築。
• スライス分解に基づく動的計画法フレームワークを用いて、有効な部分グラフを効率的に数える。
• 定理7.2を適用して、構築されたスライスグラフのサイズと頂点数を用いて実行時間を上限付ける。
• 数え上げ問題をスライス文字列上の正則言語への属性判定問題に還元し、有限オートマトンを用いた効率的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の無向木幅およびクライQUE幅をもつ有向グラフに対し、MSO₂のモデルチェックイングおよび数え上げを拡張できるか？
• RQ2 部分グラフに対して閉じており、ハミルトニアンサイクルの数え上げなどの問題に対して効率的なMSOベースのアルゴリズムを可能にする有向グラフ幅測度は存在するか？
• RQ3 z-トポロジカル順序は、MSO数え上げ問題に対して固定パラメータ並列性を実現する構造的パラメータとして機能できるか？
• RQ4 z-トポロジカル順序は、有向パス幅やサイクルランクといった既存の有向幅測度とどのように関係するか？
• RQ5 スライス理論は、z-トポロジカル制約下でMSO定義可能な部分グラフを正則言語として特徴づけるために適応可能か？

主な発見

• 本稿では、任意のMSO₂論理式φ、整数k、およびz-トポロジカル順序に対して、φを満たしk個の有向パスの和集合である部分グラフの個数がf(φ,k,z)·n^{O(k·z)}時間で数え上げられることを確立した。
• 本アルゴリズムは、z = 2でn個の頂点をもつ有向グラフに適用可能であり、その有向パス幅がΘ(log n)であることを示しており、このフレームワークが対数的有向パス幅をもつグラフをカバーしていることを示している。
• 本フレームワークは、無限大の無向木幅およびクライQUE幅をもつグラフを処理可能であり、例えばすべての辺が左および上向きに向き付けられたn×n有向グリッド（z = 1だが木幅およびクライQUE幅がΩ(n)）のような例に対しても適用可能である。
• 本手法により、DAGにおけるハミルトニアンサイクルの数え上げがMSO₂論理式とk = 2のパスを用いて多項式時間で可能となり、このようなグラフが高木幅および高クライQUE幅をもつにもかかわらず成立する。
• z-拡張飽和スライスグラフの構築により、ズイーガ-ナンバー ≤ z かつ論理式φを満たす部分グラフのみが数え上げられるようになり、解空間に対する正確な制御が可能になる。
• z-トポロジカル順序を構造的パラメータとして用いることで、Courcelleの定理を有向グラフへ一般化し、従来は困難とされたクラスに対しても論理的アルゴリズム論の適用範囲を拡大した。