[論文レビュー] Subgroup decomposition in Out(F_n), Part II: A relative Kolchin theorem

Michael Handel, Lee Mosher|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、固定された不変な自由因子系 $Χ$ 内に限局的に指数的成長が存在する場合を許容する、$Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の部分群に対する相対的 Kolchin 定理を確立する。任意の有限生成部分群 $Χ < \operatorname{IA}_n(\mathbb{Z}/3)$ について、その元が不変な自由因子系 $Χ$ に対して多項式的成長を示す場合、各段階が1辺拡張であるような $Χ$-不変な自由因子系のフィルトレーションが最大であることを示し、$Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の構造理論を相対的状況に拡張する。

ABSTRACT

This is the second in a series of four papers (with research announcement posted on this arXiv) that together develop a decomposition theory for subgroups of Out(F_n). In this paper we relativize the "Kolchin-type theorem" from the work of Bestvina, Feighn, and Handel on the Tits alternative, which describes a decomposition theory for subgroups H of Out(F_n) all of whose elements have polynomial growth. The Relative Kolchin Theorem allows subgroups H whose elements have exponential growth, as long as all such exponential growth is cordoned off in some free factor system F which is invariant under every element of H. The conclusion is that a certain finite index subgroup of H has an invariant filtration by free factor systems going from F up to the full free factor system by individual steps each of which is a "one-edge extension". We also study the kernel of the action of Out(F_n) on homology with Z/3 coefficients, and we prove Theorem B from the research announcement, which describes strong finite permutation behavior of all elements of this kernel.

研究の動機と目的

• 固定された不変な自由因子系 $Χ$ 内に限局的に指数的成長が存在する限り、$Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の部分群に対して絶対的 Kolchin 定理を一般化すること。
• $Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の部分群に対する相対的多項式的成長条件の下での分解理論を確立し、先行する単調多項式的成長に関する結果を一般化すること。
• $Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の $H_1(F_n; \mathbb{Z}/3)$ への作用の核を分析し、この核に属する元が強い有限置換行動を示すことを証明すること。
• 相対的多項式的成長の下で、最大の $Χ$-不変な自由因子系のフィルトレーションが、指数的成長が存在しても1辺拡張に分解されることを示すこと。

提案手法

• 証明は、[BFH05] に現れるバウンシング列の構成の相対的版を用い、指数的成長が固定された自由因子系 $Χ$ 内に限局的に存在する相対的状況に適応する。
• 自由因子系 $Χ$ に対する部分群 $Χ$ のニールセン対の概念を適用し、$F_n$-木における特定の頂点安定化部分群が非自明であり、それらを自明な辺安定化部分群を持つ経路で接続できることを保証する。
• 各ステップで辺安定化部分群が自明である $F_n$-木のバウンシング列 $T_0, T_1, T_2, \dots$ の帰納的解析に依存する。ここで各 $T_i$ は $T_{i-1}$ に自己同型 $φ_i$ を作用させることで得られる。
• 命題 6.2 と 6.4 を用いて、自由因子系 $Χ$ が列全体を通して保存され、各ステップで辺安定化部分群が自明のまま保たれることを示す。
• [BFH05] の補題 5.18 と 5.19 を変更し、非自明な頂点安定化部分群間の距離が安定化され、有界であることを示し、最小距離のニールゼン対の存在を導く。
• 最小距離のニールゼン対が、最小長の経路と自明な内部安定化部分群を持つことにより、フィルトレーションにおける1辺拡張の構成が可能となり、相対的 Kolchin 定理が完成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された不変な自由因子系 $Χ$ 内に限局的に指数的成長が存在する場合、$Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の単調多項式的成長部分群に対する絶対的 Kolchin 定理を一般化できるか？
• RQ2 [$HM13a$] で予想されたように、$Δ\mathsf{Out}(F_n)$ の $H_1(F_n; \mathbb{Z}/3)$ への作用の核は強い有限置換行動を示すか？
• RQ3 有限生成部分群 $Χ < \operatorname{IA}_n(\mathbb{Z}/3)$ に対して、各元が固定された $Χ$-不変な自由因子系 $Χ$ に対して多項式的成長を示す場合、最大の $Χ$-不変な自由因子系のフィルトレーションが存在し、その各段階が1辺拡張であるか？
• RQ4 このような部分群に対して、不変な自由因子系 $Χ$ に関して、辺安定化部分群が自明で、最小長の経路を持つニールゼン対を構成できるか？

主な発見

• 相対的 Kolchin 定理が成り立つ：任意の有限生成部分群 $Χ < \operatorname{IA}_n(\mathbb{Z}/3)$ で、固定された $Χ$-不変な自由因子系 $Χ$ に対して多項式的成長を示すものについて、最大の $Χ$-不変な自由因子系のフィルトレーションの各段階は1辺拡張である。
• 写像 $Δ\mathsf{Out}(F_n) \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}/3)$ の核、すなわち $\operatorname{IA}_n(\mathbb{Z}/3)$ は、[HM13a] の定理 B で確立されたように強い有限置換行動を示す。
• 辺安定化部分群が自明である $F_n$-木のバウンシング列は、自由因子系 $Χ$ を保存し、列全体で辺安定化部分群が自明のまま保たれる。
• バウンシング列における非自明な頂点安定化部分群間の距離は安定化し、その最小距離を実現するニールゼン対が存在する。これにより、フィルトレーションにおける1辺拡張の存在が保証される。
• 最終の木における最小距離のニールゼン対の頂点を結ぶ経路は、内部頂点安定化部分群が自明であり、商グラフ群に埋め込まれており、これにより1辺拡張の構成が可能である。
• $Χ$ に関して1つのニールゼン対が存在するならば、そのようなニールゼン対は最小長の接続経路を持つものに取ることができ、これを1辺に圧縮することでフィルトレーションにおける1辺拡張の段階を実現できることが証明された。