[論文レビュー] Subgroups and strictly closed invariant C*-subalgebras

Pekka Salmi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群 $G$ の閉部分群と、$
\mathrm{C}_b(G)$ の厳密に閉じた左不変 C*-部分代数の間の一対一対応を確立する。さらに、$G$ がアメーブルな場合、閉部分群と、$
\mathrm{C}_r^*(G)$ の簡約群 C*-代数の乗法的代数 $
\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の厳密に閉じた不変 C*-部分代数の間の一対一対応を示す。主な貢献は、C*-代数的調和解析において、このような特徴付けに適切な枠組みがノルム位相ではなく厳密位相であることを示したことにある。

ABSTRACT

We characterise the strictly closed left invariant C*-subalgebras of the C*-algebra C_b(G) of bounded continuous functions on a locally compact group G. On the dual side, we characterise the strictly closed invariant C*-subalgebras of the multiplier algebra of the reduced group C*-algebra C*_r(G) when G is amenable. In both cases, these C*-subalgebras correspond to closed subgroups of G.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $G$ に対して、$
  \mathrm{C}_b(G)$ の厳密に閉じた左不変 C*-部分代数を特徴づけること。
• 群 $G$ がアメーブルである場合、この特徴づけを $
  \mathrm{C}_r^*(G)$ の乗法的代数 $
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ に拡張すること。
• ノルム位相で閉じた部分代数は、コンパクトまたは開部分群にしか対応しないという制限を克服するため、厳密位相を導入すること。
• 閉部分群 $G$ と乗法的代数設定における厳密に閉じた不変 C*-部分代数の間の双対性を確立すること。

提案手法

• 元の C*-代数の要素 $a$ に対して、$x \mapsto \|xa\|$ および $x \mapsto \|ax\|$ を生成する半ノルムによって定まる、乗法的代数上の厳密位相の使用。
• 点を分離する厳密に閉じた部分代数は、必ず全代数に一致することを示すために、厳密な Stone–Weierstrass 定理の応用。
• 各 $s \in H$ に対して $R_s f = f$ を満たす $f \in \mathrm{C}_b(G)$ の集合への、$
  \mathrm{C}_b(G/H) \to \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ の厳密連続 $*$-同型写像 $\pi$ の構成。
• 左正則表現 $\lambda: G \to \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の厳密連続性と、その乗法的代数への拡張の使用。
• $\mathrm{A}(G)$ に有界近似単位元が存在することを活用し、コンパクト台付き要素から一般の乗法的代数の要素への結果の拡張。
• 群 $G$ がアメーブルで $H$ が閉じているとき、$\operatorname{supp}x \subseteq H$ であるという条件が、不変部分代数 $X$ を特徴づけることの証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ の閉部分群に対応する $
  \mathrm{C}_b(G)$ の C*-部分代数は、厳密位相のもとでどのようなものか？
• RQ2 $G$ がアメーブルであるとき、$
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の厳密に閉じた不変 C*-部分代数は、閉部分群とどのように関係するか？
• RQ3 なぜノルム位相では、C*-代数的設定においてすべての部分群を捉えきれないのか？また、厳密位相はどのようにしてこの問題を解決するのか？
• RQ4 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ と部分代数 $\{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$ の間の $*$-同型写像が、$
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 内で厳密に閉じているか？
• RQ5 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 上の任意の関数は、$
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 上に厳密連続関数として拡張可能か？

主な発見

• 局所コンパクト群 $G$ の閉部分群 $H$ と、$
  \mathrm{C}_b(G)$ の厳密に閉じた左不変 C*-部分代数 $X \subseteq \mathrm{C}_b(G)$ の間には一対一対応が存在する。ここで $X = \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ である。
• 群 $G$ がアメーブルである場合、閉部分群 $H$ と、$
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の厳密に閉じた不変 C*-部分代数 $X \subseteq \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の間にも一対一対応が存在する。ここで $X = \{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$ である。
• この双対性において、厳密位相が不可欠である。ノルム位相で閉じた部分代数は、コンパクトまたは開部分群しか捉えられない。
• 写像 $\pi: \mathrm{C}_b(G/H) \to \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ は、厳密連続な $*$-同型写像である。
• $\pi: \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H)) \to \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ の埋め込みの像は、対応する部分代数 $X$ において厳密に稠密であるが、それが厳密に閉じているかどうかは不明である。
• $\pi$ が厳密同相でないという事実は、$
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 上のすべての関数が $
  \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 上に厳密連続関数として拡張可能でないことを示しており、実際、実数直線上のアフィン群などの反例によって裏付けられている。