[論文レビュー] Subgroups of Spin(7) or SO(7) with each element conjugate to some element of G_2, and applications to automorphic forms

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Spin(7) の部分群で、すべての元が G₂ の元に共轭であるようなものについて、それ自身が G₂ の部分群に共轭であることを確立している。一方、SO(7) については同様の主張が成り立たない。SO(7) における反例は、GL₂(ℤ/3ℤ)、SL₂(ℤ/3ℤ)、ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ、およびコンパクトな閉包と類似因子群 {±1} を持つ GO₂(ℂ) の非アーベル部分群（8次元二面体群とは同型でないもの）である。これらの結果は、自動形式およびガロア表現に応用され、GL₇ に対する ℓ-進ガロア表現が G₂(ℌ̄ℚ_ℓ) に共轭になるための必要十分な局所的条件を提供する。

ABSTRACT

As is well-known, the compact groups Spin(7) and SO(7) both have a single conjugacy class of compact subgroups of exceptional type G_2. We first show that if H is a subgroup of Spin(7), and if each element of H is conjugate to some element of G_2, then H itself is conjugate to a subgroup of G_2. The analogous statement for SO(7) turns out be false, and our main result is a classification of all the exceptions. They are the following groups, embedded in each case in SO(7) in a very specific way: GL_2(Z/3Z), SL_2(Z/3Z), Z/4Z x Z/2Z, as well as the nonabelian subgroups of GO_2(C) with compact closure, similitude factors group {-1,1}, and which are not isomorphic to the dihedral group of order 8. More generally, we consider the analogous problems in which the Euclidean space is replaced by a quadratic space of dimension 7 over an arbitrary field. This type of questions naturally arises in some formulation of a converse statement of Langlands' global functoriality conjecture, to which the results above have thus some applications. Moreover, we give necessary and sufficient local conditions on a cuspidal algebraic regular automorphic representation of GL_7 over a totally real number field so that its associated \ell-adic Galois representations can be conjugate into G_2(\bar{Q_\ell}).

研究の動機と目的

• Spin(7) もしくは SO(7) の部分群 Γ が、すべての元が G₂ の部分群の元に共轭であると仮定したとき、Γ が G₂ の部分群に共轭である条件を同定すること。
• SO(7) において、Spin(7) の結果の自明な類似が成り立たない反例を分類すること。
• 特に二次形式およびオクタニオン代数の文脈において、任意の体上での結果の一般化。
• ラングランズの関手性予想、特に自動形式の文脈において、分類結果を応用すること。
• 全実体上の GL₇ の巡回的代数的正則自動形式表現に対して、その関連する ℓ-進ガロア表現が G₂(ℌ̄ℚ_ℓ) に共轭になるための必要十分な局所的条件を導出すること。

提案手法

• 次元 8 のスピン表現 W と SO(7) の標準的 7 次元表現 E を用い、Γ の各 γ が W において非ゼロベクトルを固定し、det(t−γ|W) = (t−1)det(t−γ|E) を満たすならば、Γ は W において非ゼロベクトルを固定することを示す。
• G₂ の部分群は、スピン表現 W の非ゼロベクトルの安定化部分群としてちょうど表されることを利用し、Γ は G₂ の部分群に共轭であることが示される。
• 任意の体 k 上での一般化のため、7 次元の非退化二次形式 E とそのスピンモジュール W を考える。3 つの条件の同値性を証明する：(a) Γ の各元が G₂ の部分群に属すること、(b) すべての γ ∈ Γ に対して det(1−γ|W)=0 であること、(c) Γ が G₂ の部分群に含まれること。
• 具体的な埋め込みを複素表現を用いて SO(7) に構成する：ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ、GL₂(ℤ/3ℤ)、O(2)± に対して、各元は G₂ の部分群に属するが、全体としての群はいかなる G₂ の部分群にも含まれないことを示す。
• 体 k 上のオクタニオン代数の理論を用いて、Spin(E) および SO(E) における G₂ の部分群を定義し、存在する場合にはすべて SO(E) による共轭で同値であることを示す。
• 自動形式への応用として、G 上のカスプ形式 φ から被覆群 G̃ 上のカスプ形式 ψ を、引き戻しと平均化を用いて構成し、ψ がカスプ形式であり、φ がジェネリックならば ψ もジェネリックであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Spin(7) の部分群 Γ が、すべての元が G₂ の部分群の元に共轭であると仮定したとき、Γ が G₂ の部分群に共轭になる条件は何か？
• RQ2 SO(7) における同様の主張がなぜ失敗するのか、そして正確な反例は何か？
• RQ3 すべての元が G₂ の部分群の元に共轭であるが、群自体がいかなる G₂ の部分群にも含まれない SO(7) の部分群の完全な分類は何か？
• RQ4 ℝ 上の結果を、特に二次形式とオクタニオン代数の観点から、任意の体に一般化できるか？
• RQ5 全実体上の GL₇ の巡回的代数的正則自動形式表現に対して、その関連する ℓ-進ガロア表現が G₂(ℌ̄ℚ_ℓ) に共轭になるための必要十分な局所的条件は何か？

主な発見

• Spin(7) の部分群に対しては、すべての元が G₂ の部分群の元に共轭であるならば、全体としても G₂ の部分群に共轭になる——これは強い剛性結果である。
• SO(7) においては、同様の主張が成り立たない。反例は、正確には GL₂(ℤ/3ℤ)、SL₂(ℤ/3ℤ)、ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ、およびコンパクトな閉包と類似因子群 {±1} を持つ GO₂(ℂ) の非アーベル部分群（8次元二面体群とは同型でないもの）である。
• 反例の分類は、複素化された表現が非自明な特徴指標または次元 ≤2 の既約表現の直和に分解するような、SO(7) への具体的な群の準同型を用いて達成される。
• 任意の体 k 上では、W が k[Γ]-可約モジュールであると仮定すると、3 つの条件が同値になる：(a) Γ の各 γ が G₂ の部分群に属すること、(b) すべての γ ∈ Γ に対して det(1−γ|W)=0 であること、(c) Γ が G₂ の部分群に含まれること。
• 本結果により、全実体上の GL₇ の巡回的代数的正則自動形式表現に対して、その関連する ℓ-進ガロア表現が G₂(ℌ̄ℚ_ℓ) に共轭になるための必要十分な局所的条件が得られる。
• 被覆群による自動形式の構成から、φ の G̃ 上への引き戻しが滑らかでゆっくり増加するならば、関連する形式 ψ はカスプ形式であり、φ がジェネリックならば ψ もジェネリックである。