[論文レビュー] Subharmonic functions, generalizations and separately subharmonic functions

Juhani Riihentaus|ArXiv.org|Oct 8, 2006

Holomorphic and Operator Theory被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、上位調和関数の一般化として準・ほぼ上位調和関数を導入し、準上位調和関数、ほぼ上位調和関数、およびほぼ上位調和関数を統合する。関数が1変数で上位調和的であり、他方で調和的である場合の上位調和性に関する新しい基準を確立し、一般化されたラプラシアンと可積分性条件を用いて、正則性仮定を緩和することで、先行研究を改善する。

ABSTRACT

First, we give the definition for quasi-nearly subharmonic functions, now for general, not necessarily nonnegative functions, unlike previously. We point out that our function class incudes, among others, quasisubharmonic functions, nearly subharmonic functions (in a slightly generalized sense) and almost subharmonic functions. We also give some basic properties of quasi-nearly subharmonic functions. Second, after recalling some of the existing subharmonicity results of separately subharmonic functions, we give the corresponding counterparts for separately quasi-nearly subharmonic functions, thus improving previous results of ours, of Lelong, of Avanissian and of Arsove. Third, we give two results concerning the subharmonicity of a function subharmonic with respect to the first variable and harmonic with respect to the second variable. The first result improves a result of Arsove, concerning the case when the function has, in addition, locally a negative integrable minorant. The second result improves a result of Kołodziej and Thorbiörnson concerning the subharmonicity of a function subharmonic and ${\mathcal{C}}^2$ in the first variable and harmonic in the second.

研究の動機と目的

• 上位調和関数の一般化として、準上位調和関数、ほぼ上位調和関数（一般化された意味で）、およびほぼ上位調和関数を含む準・ほぼ上位調和関数を定義し、それらを研究すること。
• アーミテージとガーディナー、レロン、アバニシアン、アールソーヴェの先行定理を改善するために、それぞれの関数が上位調和的である関数の類似物として、それぞれの関数が準・ほぼ上位調和的である関数の類推を導入し、分離的に上位調和的である関数に関する結果を拡張すること。
• 1変数で上位調和的で他方で調和的である関数に関する結果を一般化するために、一般化されたラプラシアンに対する正則性仮定を弱め、可積分性条件を導入すること。
• 一般化されたラプラシアンとラプラシアンの連続性仮定を用いて、アールソーヴェおよびコロドジエとトールビョルンソンの定理に対する新しい証明と改善を提供すること。

提案手法

• 上半連続関数として準・ほぼ上位調和関数を定義し、球上での積分を含む一般化された平均値不等式を満たすものとする。
• 古典的ラプラシアンの代わりに、より正則性が低い関数を取り扱うために、一般化されたラプラシアン（ブラーシェッケ＝プリバロフ作用素）を用いる。
• リエス分解定理を用いて、上位調和関数を調和関数と下位調和関数の和に表現する。
• 局所的可積分上界関数の概念と、積分 ∫₁^∞ s^{(n-1)/(m-1)} (φ(s))^{-1/(m-1)} ds < ∞ を含む条件を用いて、成長を制御し、上位調和性を保証する。
• コンパクト性および密度に関する議論を用い、特に連続性仮定のもとで、稠密な集合上の連続関数が一意に拡張可能であるという事実を活用する。
• 球面距離を用いて、一般化されたラプラシアンの連続性を定義し、不連続性の極小集合（極集合）を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の値でなく、正則性が低い関数を含む上位調和関数のクラスを、重要な性質を保ちながら一般化できるか？
• RQ2 関数が1変数で分離的に上位調和的であり、他方で調和的である場合、どのような条件下でそれが上位調和的であることが保証されるか？
• RQ3 一般化されたラプラシアンを用いて、アールソーヴェおよびコロドジエとトールビョルンソンの定理における正則性仮定をどのように弱められるか？
• RQ4 上界関数の可積分性、または一般化されたラプラシアンの挙動が、上位調和性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 C²仮定を一般化されたラプラシアンの連続性に置き換えることで、結果を改善できるか？

主な発見

• 準・ほぼ上位調和関数のクラスは、準上位調和関数、一般化された意味でのほぼ上位調和関数、およびほぼ上位調和関数を含む。
• 本稿は、アーミテージとガーディナーの結果を改善し、彼らの成長条件を p > 0 に対する Lᵖ_loc-可積分性条件に置き換えた。
• 定理4は、アールソーヴェの結果を改善し、局所的可積分上界関数の仮定を局所的有界下界関数の仮定に弱め、一般化されたラプラシアンを用いた。
• 定理5は、コロドジエとトールビョルンソンの結果を改善し、C²仮定を一般化されたラプラシアン Δ₁u(·,y) がほとんど everywhere で連続であることの仮定に置き換えた。
• 系1は、一般化されたラプラシアン Δ₁u(·,y) が極集合を除き連続的かつ有限であれば、u は上位調和的であることを示している。
• 系2は、一般化されたラプラシアン Δ₁u(·,y) が連続的かつ実数値であれば、u は上位調和的であることを確立しており、明快で実用的な基準を提供する。