[論文レビュー] Subharmonic functions, mean value inequality, boundary behavior, nonintegrability and exceptional sets

Juhani Riihentaus|ArXiv.org|Dec 30, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$(n-1)$-次元ハウスドルフ測度が有限である例外的集合をもつ関数に対する、新しい除去可能特異点定理を確立することで、下調和関数および凸関数の理論を前進させる。準近似的に下調和関数の平均値不等式を精緻化し、重み付き条件下での境界挙動に関する結果を証明し、鈴木の非可積分性結果を極限ケースにまで拡張する。主たる貢献は、ブランシェの除去可能特異点結果の一般化であり、各変数に関して凸または下調和である関数が、有限の余次元測度をもつ小さな特異集合を越えて、依然として凸または下調和のままであることを示している。

ABSTRACT

We begin by shortly recalling a generalized mean value inequality for subharmonic functions, and two applications of it: first a weighted boundary behavior result (with some new references and remarks), and then a borderline case result to Suzuki's nonintegrability results for superharmonic and subharmonic functions. The main part of the talk consists, however, of partial improvements to Blanchet's removable singularity results for subharmonic, plurisubharmonic and convex functions.

研究の動機と目的

• 非負の準近似的に下調和関数に対する一般化された平均値不等式を精緻化すること。
• 重み付き条件下での下調和関数の境界挙動に関する結果を拡張すること。
• 下調和関数および上調和関数の鈴木の非可積分性定理の極限ケースを確立すること。
• 下調和関数、擬下調和関数、凸関数に対するブランシェの除去可能特異点定理を改善すること。
• 関数が有限な$(n-1)$-次元ハウスドルフ測度をもつ小さな例外的集合を越えて凸または下調和のままであるための条件を特定すること。

提案手法

• 一様定数$ C_0 $をもつ一般化された平均値不等式を満たす非負の準近似的に下調和関数のクラスを導入する。
• 一般化された平均値不等式を用いて、下調和関数の重み付き境界挙動に関する結果を導出する。
• 左および右の偏微分が$ \mathcal{H}^{n-1} $-ほとんど everywhere に存在することの概念を用いて、特異集合を分析する。
• 凸関数の性質（左および右の微分の存在、接線）を用いて、分離凸性を特徴付ける。
• ルロン型特徴付け：関数が凸であるための必要十分条件は、任意のアフィン変換との合成が分離凸であることである。
• スライス$ \Omega(X_j) $におけるフォビニ型の議論を用いて、局所的凸性を例外的集合を越えて大域的凸性へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な$ \mathcal{H}^{n-1} $-測度をもつ特異集合を越えて関数が下調和または凸のままであるための条件は何か？
• RQ2 一般化された平均値不等式はどのように準近似的に下調和関数へと拡張可能であり、境界挙動にどのような影響を及えるか？
• RQ3 下調和関数および上調和関数の鈴木の非可積分性定理の鋭い極限ケースは何か？
• RQ4 ブランシェの除去可能特異点定理は、下調和関数、擬下調和関数、凸関数に対して改善可能か？
• RQ5 片側偏微分は、孤立特異点をもつ関数の凸性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 定理1は、非負の準近似的に下調和関数に対する一般化された平均値不等式を確立し、古典的結果をより広いクラスへと拡張する。
• 定理3および系3は、鈴木の非可積分性定理の極限ケースを提供し、下調和関数が局所的に可積分でない場合を特徴付ける。
• 定理5は、$ \Omega \subset \mathbb{R}^n $上の連続関数$ u $が、$ \mathcal{H}^{n-1}(E) < \infty $ かつ $ \mathcal{H}^{n-1} $-ほとんど everywhere での$ X_j $ において一様片側微分条件を満たすとき、$ \Omega \setminus E $ で分離凸であれば、$ u $ は分離凸であることを示す。
• 系5は定理5を強化し、有限な$ \mathcal{H}^{n-1} $-測度をもつ集合の外で分離凸である$ C^1 $関数が大域的凸であることを示す。
• 関数が一様片側偏微分が例外的集合の境界で適合性条件を満たす場合、小さな特異集合を越えて凸性が保たれることを証明する。
• 結果は、$ \mathbb{C}^n $における擬下調和関数へと一般化され、同様の除去可能特異点定理が成り立つ。