[論文レビュー] Sublattices of the lattice of local clones

Michael Pinsker|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可算無限集合上の局所クローンの格子を調査し、それが高々可算個のコンパクト要素を持つすべての代数的格子を埋め込むが、そのクラスよりも厳密に複雑であることを証明している。また、格子が $M_{2^{\binom{0}}}$ のような非可算構造を結合および交差を保つ部分格子として含むことを示し、可算コンパクト要素を持つ代数的格子よりも表現力が優れていることを明らかにした。

ABSTRACT

We investigate the complexity of the lattice of local clones over a countably infinite base set. In particular, we prove that this lattice contains all algebraic lattices with at most countably many compact elements as complete sublattices, but that the class of lattices embeddable into the local clone lattice is strictly larger than that.

研究の動機と目的

• 可算無限の基数集合上の局所クローン格子の構造的複雑さを分析すること。
• どの格子が局所クローン格子 $Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込まれるかを特定すること。
• 局所クローン格子が、可算個のコンパクト要素を持つ代数的格子のクラスよりも厳密に複雑であるかどうかを調査すること。
• 非可算格子 $M_{2^{inom{0}}}$ が $Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込まれるかどうかを検討すること。

提案手法

• 演算と関係の間の双対性を $Π$ および $Ι$ 演算子を用いて扱い、局所クローンを関係の集合 $Σ$ に対して $Π(\mathcal{R})$ として特徴づけた。
• 局所クローンの補間性質を用いて、クローンが局所的であるための必要十分条件を示した。すなわち、クローンの要素とすべての有限部分集合上で一致するすべての演算を含むとき、そのクローンは局所的である。
• $X$ の部分集合上の単項演算および関係を用いて、$M_{2^{inom{0}}}$ の結合および交差を保つ明示的埋め込みを構成した。
• 既知の部分代数格子およびコンパクト要素に関する結果を応用し、$Ο_{\text{loc}}(X)$ が可算個のコンパクト要素を持つ任意の代数的格子に埋め込めないことを示した。
• 証明は、$ω$ の部分集合の非可算族が、すべてのペアワイズ交差が固定された集合に等しくなることはありえないという事実に依拠している。この性質が、このような埋め込みを妨げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算個のコンパクト要素を持つすべての代数的格子が、$Ο_{\text{loc}}(X)$ の完全部分格子として埋め込めるか？
• RQ2 $Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込める格子のクラスは、可算個のコンパクト要素を持つ代数的格子のクラスよりも厳密に大きいのか？
• RQ3 $M_{2^{inom{0}}}$ 格子（サイズ $2^{inom{0}}$ の反鎖に最小元と最大元を加えたもの）は、$Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込めるか？
• RQ4 $ω$ の冪集合に順序埋め込み可能なすべての格子は、$Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込めるか？

主な発見

• $Ο_{\text{loc}}(X)$ は、高々可算個のコンパクト要素を持つすべての代数的格子を完全部分格子として含む。
• $Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込める格子のクラスは、可算個のコンパクト要素を持つ代数的格子のクラスよりも厳密に大きい。
• $M_{2^{inom{0}}} $ は、結合および交差を保つ部分格子として $Ο_{\text{loc}}(X)$ に埋め込まれる。
• 非空の真部分集合 $A_i \subset X$ に対して $Π(\{A_i\})$ の形をした局所クローンを用いて、$M_{2^{inom{0}}}$ の結合を保つ埋め込みが存在する。
• 固定された $X$ の2要素のペア上で定義された単項演算 $f_{B_i}$ および定数演算を用いて、$M_{2^{inom{0}}}$ の交差を保つ埋め込みが存在する。
• $Ο_{\text{loc}}(X)$ は、可算個のコンパクト要素を持つ任意の代数的格子に埋め込めない。なぜなら、そのような格子は $M_{2^{inom{0}}}$ を交差半順序部分半束として含めないからである。