[論文レビュー] Sublinear Algorithms and Lower Bounds for Estimating MST and TSP Cost in General Metrics

Yu Chen, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、一般の距離空間における最小全域木（MST）および巡回セールスマン巡回路（TSP）のコストを推定するための、サブリニア空間およびサブリニアクエリのアルゴリズムを提示する。『カバー・アドバンテージ』という概念を導入し、MSTをオイラー的グラフに変換するコストを推定することで、2パスのストリームモデルにおいてTSPに対して1.96-近似を得るとともに、一般の距離空間に対しても、Õ(n^1.5)クエリを用いた2より良い近似が達成可能であることを示している。

ABSTRACT

We consider the design of sublinear space and query complexity algorithms for estimating the cost of a minimum spanning tree (MST) and the cost of a minimum traveling salesman (TSP) tour in a metric on n points. We start by exploring this estimation task in the regime of o(n) space, when the input is presented as a stream of all binom(n,2) entries of the metric in an arbitrary order (a metric stream). For any α ≥ 2, we show that both MST and TSP cost can be α-approximated using Õ(n/α) space, and moreover, Ω(n/α²) space is necessary for this task. We further show that even if the streaming algorithm is allowed p passes over a metric stream, it still requires Ω̃(√{n/α p²}) space. We next consider the well-studied semi-streaming regime. In this regime, it is straightforward to compute MST cost exactly even in the case where the input stream only contains the edges of a weighted graph that induce the underlying metric (a graph stream), and the main challenging problem is to estimate TSP cost to within a factor that is strictly better than 2. We show that in graph streams, for any ε > 0, any one-pass (2-ε)-approximation of TSP cost requires Ω(ε² n²) space. On the other hand, we show that there is an Õ(n) space two-pass algorithm that approximates the TSP cost to within a factor of 1.96. Finally, we consider the query complexity of estimating metric TSP cost to within a factor that is strictly better than 2 when the algorithm is given access to an n × n matrix that specifies pairwise distances between n points. The problem of MST cost estimation in this model is well-understood and a (1+ε)-approximation is achievable by Õ(n/ε^{O(1)}) queries. However, for estimating TSP cost, it is known that an analogous result requires Ω(n²) queries even for (1,2)-TSP, and for general metrics, no algorithm that achieves a better than 2-approximation with o(n²) queries is known. We make progress on this task by designing an algorithm that performs Õ(n^{1.5}) distance queries and achieves a strictly better than 2-approximation when either the metric is known to contain a spanning tree supported on weight-1 edges or the algorithm is given access to a minimum spanning tree of the graph. Prior to our work, such results were only known for the special cases of graphic TSP and (1,2)-TSP. In terms of techniques, our algorithms for metric TSP cost estimation in both streaming and query settings rely on estimating the cover advantage which intuitively measures the cost needed to turn an MST into an Eulerian graph. One of our main algorithmic contributions is to show that this quantity can be meaningfully estimated by a sublinear number of queries in the query model. On one hand, the fact that a metric stream reveals pairwise distances for all pairs of vertices provably helps algorithmically. On the other hand, it also seems to render useless techniques for proving space lower bounds via reductions from well-known hard communication problems. Our main technical contribution in lower bounds is to identify and characterize the communication complexity of new problems that can serve as canonical starting point for proving metric stream lower bounds.

研究の動機と目的

• . 一般の距離空間におけるMSTおよびTSPコストの推定のためのサブリニア空間およびクエリ複雑度のアルゴリズムの設計。
• . ストリーミングおよびクエリモデルにおけるMSTおよびTSPコストの近似のためのタイトな空間およびクエリ複雑度の下界の確立。
• . TSPコスト推定のサブリニア設定における主要なツールとしての、『カバー・アドバンテージ』という新規概念の導入と活用。
• . 一般の距離空間においてo(n²)空間およびクエリで(2−ε)-近似が可能かどうかという未解決問題の解決。
• . メトリックストリームの下界を示すために必要な新しい通信複雑度の特徴付けの提供。

提案手法

• . MSTをオイラー的グラフに変換するコストを測る指標として『カバー・アドバンテージ』を導入し、MSTとTSPコストの差を捉える。
• . エッジカバーの再構築とMST構造の活用により、2パスストリーミングアルゴリズムでTSPコストを1.96-近似可能である。
• . 重み1の辺に全域木が存在するか、MSTにアクセス可能な場合に、Õ(n^1.5)の距離クエリを用いてクエリベースのアルゴリズムを実装。
• . ローカル探索、BFS、部分グラフ再構成を用いたサブルーチンフレームワークを設計し、サブリニアクエリでカバー・アドバンテージを推定。
• . クラシカルな難問への還元を避けるために、メトリックストリームに特化した新しい通信複雑度問題を導入し、下界を証明。
• . 情報複雑度と確率的議論を用いて、1パスの(2−ε)-近似におけるΩ(ε²n²)の空間下界を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 1パスのメトリックストリームにおいて、o(n²)空間でTSPコストを2より良い要因で近似できるか？
• RQ2 . 一般の距離空間において、(2−ε)-近似を達成するサブリニアクエリアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 . 1パスのメトリックストリームにおけるMSTおよびTSP推定において、空間と近似比の最適なトレードオフは何か？
• RQ4 . カバー・アドバンテージの概念は、ストリーミングおよびクエリモデルの両方において、TSPコスト推定のための効率的サブリニアアルゴリズムの設計に利用可能か？
• RQ5 . メトリックストリームアルゴリズムの強い下界を証明するために、どのような新しい通信複雑度問題が必要か？

主な発見

• . ˜O(n)空間の2パスアルゴリズムにより、グラフストリームにおけるTSPコストに対して1.96-近似が達成可能。
• . グラフストリームにおける1パスの(2−ε)-近似には、Ω(ε²n²)の空間が必要であり、タイトな下界が確立された。
• . 重み1の辺に全域木が存在するか、MSTにアクセス可能な場合に、Õ(n^1.5)クエリを用いたサブリニアクエリアルゴリズムにより、一般の距離空間におけるTSPコストに対して2より良い近似が達成可能。
• . 1パスのメトリックストリームにおけるMSTおよびTSPコストのα-近似に関して、ほぼタイトな空間下界˜Ω(n/α²)を確立した。
• . pパスストリーミングアルゴリズムでは、空間複雑度が˜Ω(√(n/αᵖ²))であることが示され、複数パスであっても空間要件を著しく削減できないことが判明。
• . 本稿では、メトリックストリームの下界を示すための新しい通信問題を同定・特徴付け、その問題を下界証明の標準的出発点として特定した。