[論文レビュー] Sublinear Algorithms and Lower Bounds for Metric TSP Cost Estimation

Yu Chen, Sampath Kannan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、近似因子が2未満となる最初の部分時間アルゴリズムを提示する。グラフィックTSPに対しては、Õ(n)時間で(2−ε₀)-近似を達成し、(1,2)-TSPに対しては、Õ(n^{1.5})時間で1.625-近似を達成する。さらに、任意の(1+ε₀)-近似アルゴリズムに対して、Ω(n²)のクエリ下界を確立し、部分時間推定におけるメトリックTSPとメトリックMSTの間の根本的なギャップを明らかにする。

ABSTRACT

We consider the problem of designing sublinear time algorithms for estimating the cost of a minimum metric traveling salesman (TSP) tour. Specifically, given access to a $n imes n$ distance matrix $D$ that specifies pairwise distances between $n$ points, the goal is to estimate the TSP cost by performing only sublinear (in the size of $D$) queries. For the closely related problem of estimating the weight of a metric minimum spanning tree (MST), it is known that for any $\varepsilon > 0$, there exists an $ ilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$ time algorithm that returns a $(1 + \varepsilon)$-approximate estimate of the MST cost. This result immediately implies an $ ilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$ time algorithm to estimate the TSP cost to within a $(2 + \varepsilon)$ factor for any $\varepsilon > 0$. However, no $o(n^2)$ time algorithms are known to approximate metric TSP to a factor that is strictly better than $2$. On the other hand, there were also no known barriers that rule out the existence of $(1 + \varepsilon)$-approximate estimation algorithms for metric TSP with $ ilde{O}(n)$ time for any fixed $\varepsilon > 0$. In this paper, we make progress on both algorithms and lower bounds for estimating metric TSP cost. We also show that the problem of estimating metric TSP cost is closely connected to the problem of estimating the size of a maximum matching in a graph.

研究の動機と目的

• 近似比が2未満となる部分時間アルゴリズムを、メトリックTSPのコスト推定に開発する。
• Õ(n)時間内での(1+ε)-近似TSPコスト推定を妨げる計算的障壁を同定する。
• クエリモデルおよびストリーミングモデルにおける、(1+ε)-近似TSPコスト推定のタイトな下界を確立する。
• TSPコスト推定と最大二部マッチングサイズ推定との関係を調査する。
• 部分時間モデルにおけるメトリックTSPとメトリックMSTの根本的な複雑さの違いを理解する。

提案手法

• 大きなマッチングまたは多数の双連結成分を有するグラフの構造的性質を活用する、グラフィックTSPのための確率的Õ(n)-時間アルゴリズムを設計する。
• グラフのブロック数とマッチングサイズの分析を通じて、TSPコストを推定するための、グラフ分解とサンプリング技術の組み合わせを用いる。
• 辺の重みが二進数である性質を活用し、洗練されたサンプリング戦略を用いることで、(1,2)-TSPのためのÕ(n^{1.5})-時間アルゴリズムを開発する。
• ワンウェイ通信モデルにおけるインデックス問題への還元を通じて下界を証明し、通信複雑性をクエリ複雑性および空間複雑性に翻訳する。
• TSPコスト推定と二部グラフにおける最大マッチングサイズ推定との間にタイトな関係を確立し、任意のTSP推定器が、εnの加法的誤差内でマッチングサイズを推定するために使用可能であることを示す。
• 既知のマッチングサイズ推定におけるΩ(n²)の下界を用いて、(1+ε₀)-近似TSPコスト推定に対しΩ(n²)の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分時間アルゴリズムは、メトリックTSPに対して2未満の近似因子を達成可能か？
• RQ2 Õ(n)時間内での(1+ε)-近似TSPコスト推定を妨げる根本的障壁は存在するか？
• RQ3 部分時間モデルにおけるTSPコスト推定において、時間と近似比の最適なトレードオフは何か？
• RQ4 TSPコスト推定の複雑さは、メトリックMSTコスト推定と比べてどう異なるか？
• RQ5 TSPコスト推定は、最大二部マッチングサイズ推定問題に還元可能か、あるいはそれと関連づけられるか？

主な発見

• 確率的Õ(n)-時間アルゴリズムにより、グラフィックTSPに対して(2−ε₀)-近似が達成され、近似因子が2未満となる最初の部分時間アルゴリズムである。
• Õ(n^{1.5})-時間アルゴリズムにより、(1,2)-TSPに対して1.625-近似が達成され、2-近似のベースラインを上回る。
• グラフィックTSPまたは(1,2)-TSPのコストを(1+ε₀)-要因内で推定する任意のアルゴリズムは、Ω(n²)のクエリを必要とし、強い下界を証明する。
• グラフィックTSPまたは(1,2)-TSPの(1+ε)-近似TSPコスト推定器は、εnの加法的誤差内で最大二部マッチングサイズを推定するために使用可能である。
• グラフィックTSPコストを(2−ε)要因内で近似する単一パスストリーミングアルゴリズムは、Ω(εn)の空間を必要とし、通信複雑性の下界と一致する。
• 本稿では、メトリックTSPとメトリックMSTの間で明確な分離を確立する：MSTコストはÕ(n)時間で(1+ε)-近似可能であるが、TSPコストは部分時間では(1+ε)-近似不可能である。