[論文レビュー] Sublinear Approximation Algorithm for Nash Social Welfare with XOS Valuations

Siddharth Barman, Anand Krishna+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、需要オракルおよびXOSオラクルを用いて、XOS評価におけるナッシュ社会的余命（NSW）を最大にする最初の部分線形近似アルゴリズムを提示する。これは、O(n)近似の壁を破り、部分線形近似要因を達成する。また、上限付き社会的余命フレームワークを導入し、繰り返しマッチングと離散的移動ナイフ手順を組み合わせることで、部分線形近似要因を達成する。さらに、(1−1/e)要因以内にNSWを近似するにはΩ(2^n)のクエリが必要であることを証明する。

ABSTRACT

We study the problem of allocating indivisible goods among $n$ agents with the objective of maximizing Nash social welfare (NSW). This welfare function is defined as the geometric mean of the agents' valuations and, hence, it strikes a balance between the extremes of social welfare (arithmetic mean) and egalitarian welfare (max-min value). Nash social welfare has been extensively studied in recent years for various valuation classes. In particular, a notable negative result is known when the agents' valuations are complement-free and are specified via value queries: for XOS valuations, one necessarily requires exponentially many value queries to find any sublinear (in $n$) approximation for NSW. Indeed, this lower bound implies that stronger query models are needed for finding better approximations. Towards this, we utilize demand oracles and XOS oracles; both of these query models are standard and have been used in prior work on social welfare maximization with XOS valuations. We develop the first sublinear approximation algorithm for maximizing Nash social welfare under XOS valuations, specified via demand and XOS oracles. Hence, this work breaks the $O(n)$-approximation barrier for NSW maximization under XOS valuations. We obtain this result by developing a novel connection between NSW and social welfare under a capped version of the agents' valuations. In addition to this insight, which might be of independent interest, this work relies on an intricate combination of multiple technical ideas, including the use of repeated matchings and the discrete moving knife method. In addition, we partially complement the algorithmic result by showing that, under XOS valuations, an exponential number of demand and XOS queries are necessarily required to approximate NSW within a factor of $\left(1 - \frac{1}{e} ight)$.

研究の動機と目的

• XOS評価におけるナッシュ社会的余命（NSW）を最大化するための効率的な近似アルゴリズムを開発すること。これは、公正配分分野における主要な課題である。
• 価値クエリを用いたXOS評価におけるNSW最大化の既知のΩ(n)クエリ複雑度の壁を打ち破ること。
• より強力なクエリモデル（需要およびXOSオラクル）を用いて、O(n)近似よりも優れた部分線形近似アルゴリズムを設計すること。
• XOS評価におけるNSW近似のためのタイトなクエリ複雑度下界を確立すること。
• NSWと上限付き社会的余命の間の新しい接続を提供し、より優れたアルゴリズム設計を可能にすること。

提案手法

• エージェントの評価の上限付きバージョンを導入し、NSWと社会的余命最大化の間の橋渡しを実現する。
• 第1段階で繰り返しマッチングを用い、個々の評価が強いエージェントの高価値商品を特定する。
• 第2段階で確率的分割戦略を用い、残りの商品を分配しながら評価構造を保持する。
• 第3段階で離散的移動ナイフサブルーチンを適用し、各エージェントが元の割り当ての1/(16n)以上の価値を持つバンドルを受領することを保証する。
• 第4段階でこれらの要素を統合し、上限付き社会的余命を最大化する。この上限付き社会的余命がNSWを近似することを示す。
• 需要およびXOSオラクルを全体にわたって活用し、多項式時間計算と部分線形近似を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 需要およびXOSオラクルを用いて、XOS評価におけるNSWに対して部分線形近似が達成可能か？
• RQ2 XOS評価におけるNSW近似のための本質的クエリ複雑度の壁は何か？
• RQ3 NSWと上限付き社会的余命の間の接続を形式的に確立することで、より優れた近似が可能になるか？
• RQ4 繰り返しマッチングおよび離散的移動ナイフ技術を、NSW最大化における部分線形近似に適応可能か？
• RQ5 XOS評価におけるNSWを定数要因以内に近似するには、必要なクエリ数の証明可能な下界はあるか？

主な発見

• 本稿では、XOS評価におけるNSW最大化に対して、O(n)近似よりも優れた部分線形近似アルゴリズムを初めて提示する。
• 需要およびXOSオラクルを用いることで、部分線形近似を達成し、従来の弱いクエリモデルでは避けがたく思われていたO(n)の壁を打ち破る。
• NSWと上限付き社会的余命の間の新規な接続を確立し、アルゴリズムの設計を可能にするとともに、新たな分析フレームワークを提供する。
• 繰り返しマッチング、確率的分割、および離散的移動ナイフ手順を組み合わせることで、部分線形近似保証を達成する。
• タイトなクエリ複雑度下界を証明した：(1−1/e)要因以内にNSWを近似するにはΩ(2^n)の需要およびXOSクエリが必要である。
• この結果は、XOS評価におけるNSW最大化の部分線形近似には、より強力なクエリモデルが不可欠であることを示している。