[論文レビュー] Sublinear Estimation of Weighted Matchings in Dynamic Data Streams

Marc Bury, Chris Schwiegelshohn|arXiv (Cornell University)|May 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、重み付きマッチングサイズの推定問題を無重みマッチングサイズの推定問題に還元することにより、部分線形空間を用いて動的グラフストリームにおける最大重み付きマッチングの重みを推定する新規なアルゴリズムを提示する。平面グラフに対しては Õ(n⁴/⁵) の空間で定数因子近似を達成し、敵対的ストリームにおける最大マッチングサイズを 1+O(β) 要因内で近似するための近似的最適な Ω(n¹⁻ᵝ) の空間下界を確立する。

ABSTRACT

This paper presents an algorithm for estimating the weight of a maximum weighted matching by augmenting any estimation routine for the size of an unweighted matching. The algorithm is implementable in any streaming model including dynamic graph streams. We also give the first constant estimation for the maximum matching size in a dynamic graph stream for planar graphs (or any graph with bounded arboricity) using $ ilde{O}(n^{4/5})$ space which also extends to weighted matching. Using previous results by Kapralov, Khanna, and Sudan (2014) we obtain a $\mathrm{polylog}(n)$ approximation for general graphs using $\mathrm{polylog}(n)$ space in random order streams, respectively. In addition, we give a space lower bound of $Ω(n^{1-\varepsilon})$ for any randomized algorithm estimating the size of a maximum matching up to a $1+O(\varepsilon)$ factor for adversarial streams.

研究の動機と目的

• 限られたメモリ空間の中で動的グラフストリームにおける最大重み付きマッチングサイズを推定する課題に対処すること。
• 任意の無重みマッチング推定ルーチンを重み付きマッチング推定器に変換する手法を開発すること。
• 平面グラフ（または有界な木性をもつグラフ）における動的ストリーム上での最大マッチングサイズに対する最初の定数因子近似を提供すること。
• 敵対的ストリームおよびランダム順序ストリームにおける最大マッチングサイズの近似のためのタイトな空間計算量境界を確立すること。
• 既存の技術を用いて、ランダム順序ストリームにおける多対数近似結果を動的設定に拡張すること。

提案手法

• エッジの重みとグラフ構造に基づく変換を用いて、重み付きマッチング推定問題を無重みマッチングサイズの推定問題に還元する。
• ハイパーマッチングに基づく還元を用いて、ベクトル内の1の個数の偶奇に依存する最大マッチングサイズを持つ動的グラフストリームインスタンスを構築する。
• マッチング推定のための空間下界を証明するために、ブール隠しハイパーマッチング（BHH）問題への還元を用いる。
• 最大マッチングサイズとトゥッテ行列のランクの等価性を活用して、行列ランク推定のための下界を導出する。
• 線形スケッチと確率的通信複雑性の技術を用いて、空間要件を分析する。
• 2ノードペアとtクリークを用いた構成により、アリスの入力とボブのハイパーマッチングの間の相互作用をモデル化し、タイトな下界を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形空間アルゴリズムは、動的グラフストリームにおける最大重み付きマッチングの重みを推定できるか？
• RQ2 平面グラフにおける動的ストリーム上での最大マッチングサイズの定数因子近似を達成するための最適な空間計算量は何か？
• RQ3 動的ストリームにおけるマッチング推定の空間計算量は、挿入のみのストリームまたはランダム順序ストリームにおけるものと比べてどう異なるか？
• RQ4 敵対的動的ストリームにおける最大マッチングサイズを 1+ε 要因内で近似するための本質的空間下界は何か？
• RQ5 マッチングサイズと行列ランクの関係を活用することで、ストリーミングアルゴリズムに対するより強い下界を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、平面グラフにおける動的グラフストリーム上での最大マッチングサイズに対する最初の定数因子近似を、Õ(n⁴/⁵) の空間で提示する。
• 一般グラフに対しては、ランダム順序ストリームにおいて多対数(n)の近似を多対数(n)の空間で達成し、Kapralov らの先行結果を拡張する。
• 任意の確率的アルゴリズムが敵対的ストリームにおいて最大マッチングサイズを 1+O(β) 要因内で近似するためには、Ω(n¹⁻ᵝ) の空間下界が確立される。
• この下界は、ブール隠しハイパーマッチング問題への還元により導出され、(1+1/(3t/2−1))-近似には Ω(n¹⁻ᵗ/²) の空間が必要であることを示している。
• この結果は、1+1/(3t/2−1) 要因内で行列のランク（最大マッチングサイズと等価）を推定するには、動的ストリームにおいて Ω(n¹⁻ᵗ/²) の空間が必要であることを示唆する。
• このフレームワークにより、既存の無重みマッチング推定ルーチンを再利用して、動的環境下での重み付きマッチング問題を解くことが可能になる。