[論文レビュー] Sublogarithmic Distributed Algorithms for Lov\\'asz Local lemma, and the Complexity Hierarchy

Manuela Fischer, Mohsen Ghaffari|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

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ひとこと要約

本稿では、有界次数のグラフにおけるLovász Local Lemma (LLL) のためのサブローグラスティックなランダム化分散アルゴリズムを提示し、$2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ ラウンドの実行時間に到達した。これは、以前の $O(\log n)$ の境界と比べて顕著に改善されたものである。この結果により、すべての $o(\log n)$ ラウンドのランダム化LCL問題に対する自動的な高速化が可能となり、欠損彩色、フラグル彩色、リスト頂点彩色のためのより高速なアルゴリズムが得られる。

ABSTRACT

Locally Checkable Labeling (LCL) problems include essentially all the classic problems of $\\mathsf{LOCAL}$ distributed algorithms. In a recent enlightening revelation, Chang and Pettie [arXiv 1704.06297] showed that any LCL (on bounded degree graphs) that has an $o(\\log n)$-round randomized algorithm can be solved in $T_{LLL}(n)$ rounds, which is the randomized complexity of solving (a relaxed variant of) the Lov\\'asz Local Lemma (LLL) on bounded degree $n$-node graphs. Currently, the best known upper bound on $T_{LLL}(n)$ is $O(\\log n)$, by Chung, Pettie, and Su [PODC'14], while the best known lower bound is $\\Omega(\\log\\log n)$, by Brandt et al. [STOC'16]. Chang and Pettie conjectured that there should be an $O(\\log\\log n)$-round algorithm. Making the first step of progress towards this conjecture, and providing a significant improvement on the algorithm of Chung et al. [PODC'14], we prove that $T_{LLL}(n)= 2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$. Thus, any $o(\\log n)$-round randomized distributed algorithm for any LCL problem on bounded degree graphs can be automatically sped up to run in $2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$ rounds. Using this improvement and a number of other ideas, we also improve the complexity of a number of graph coloring problems (in arbitrary degree graphs) from the $O(\\log n)$-round results of Chung, Pettie and Su [PODC'14] to $2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$. These problems include defective coloring, frugal coloring, and list vertex-coloring.

研究の動機と目的

• Lovász Local Lemma (LLL) のランダム化分散複雑度について、$\Omega(\log\log n)$ の下界と $O\left(\log n\right)$ の上界の間のギャップを埋める。
• 有界次数のグラフ上でのすべての $o(\log n)$ ラウンドのランダム化LCL問題に対して自動的に高速化を可能にする、サブローグラスティックなLLLアルゴリズムを提供する。
• 新しいLLLアルゴリズムを活用して、主なグラフ彩色問題—欠損彩色、フラグル彩色、リスト頂点彩色—の分散複雑度を改善する。
• LLL がサブローグラスティックな分散アルゴリズムにおいて完全問題であることを確立し、分散計算におけるその基盤的役割を強化する。

提案手法

• 有界次数の $n$ 頂点グラフ上で、LLL の緩和された変種を解くための、新規の $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$-ラウンドのランダム化アルゴリズムを設計する。
• 各段階で色リストのサイズと衝突数を 2 倍に減らす LLL の定式化を用いて、リスト頂点彩色の反復的プリーニング手法を用いる。
• 各プリーニング段階を、多項式基準 $epd \leq 1$ を満たす LLL インスタンスとして定式化し、効率的な LLL ソルバーの適用を保証する。
• リストサイズを $L$ から $\Omega(1)$ にまで $O(\log\log n)$ 個のプリーニング反復で減少させるために、LLL アルゴリズムを再帰的に適用する。
• 小さい $L$ の場合を直接、先行研究の LLL アルゴリズムで処理し、濃度の不等式と再帰的依存関係の分解を用いて $L$ が大きい場合に拡張する。
• LLL がサブローグラスティック LCL 問題において完全であることを活用：任意の $o(\log n)$-ラウンドのランダム化 LCL アルゴリズムを、$O(T_{LLL}(n))$ ラウンドに高速化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lovász Local Lemma のランダム化分散複雑度は、$O(\log n)$ よりも低く、$\Omega(\log\log n)$ の下界に近づけられるか？
• RQ2 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$-ラウンド LLL アルゴリズムは、有界次数のグラフ上でのすべての $o(\log n)$-ラウンドのランダム化 LCL 問題に対して自動的な高速化を可能にするか？
• RQ3 新しいLLLアルゴリズムは、リスト頂点彩色、欠損彩色、フラグル彩色の分散複雑度を改善するために適用可能か？
• RQ4 LLL を解くためのランダム化複雑度 $T_{LLL}(n)$ のタイトな上界は何か？（$n$ 頂点有界次数グラフ上）
• RQ5 LLL は、反復的プリーニングフレームワークにおいて、どのようにしてグラフ彩色問題の衝突サイズとリストサイズを段階的に減少させるために使用できるか？

主な発見

• 本稿では、Lovász Local Lemma のランダム化分散複雑度 $T_{LLL}(n)$ が $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ であることを確立した。これは、以前の $O(\log n)$ の上界と比べて顕著に改善されたものである。
• この新しい境界により、有界次数のグラフ上でのすべての $o(\log n)$-ラウンドのローカルチェック可能なラベル付け（LCL）問題に対するランダム化アルゴリズムが、自動的に $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ ラウンドに高速化可能である。
• 欠損彩色、フラグル彩色、リスト頂点彩色の分散複雑度は、リストサイズ制約における十分に大きな定数 $C$ に対して、$O(\log n)$ から $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ ラウンドに改善された。
• リストサイズ $L$ および隣接頂点の衝突数 $|N_q(v)| \leq L/C$ の場合、$C > 2e$ が十分に大きな定数であれば、アルゴリズムは高確率で $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ ラウンドで実行される。
• 本手法は、$O(\log\log n)$ 個の反復的プリーニングステップを経て、各ステップが多項式基準 $epd \leq 1$ を満たす LLL インスタンスとして定式化され、各ステップが $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ ラウンドで解ける。
• 解析により、$L$ が小さい場合でも LLL の定式化が多項式基準内に保たれ、濃度の不等式と再帰的依存処理のおかげでアルゴリズムが効率的であることが示された。