[論文レビュー] Submanifolds of codimension two attaining equality in an extrinsic inequality

Marcos Dajczer Ruy Tojeiro|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平均曲率ベクトルと法曲率テンソルを含む外在的スカラー曲率不等式に等号を達成する、余次元2の$n$次元ユークリッド部分多様体の完全なパラメトリック構成を提供する。この構成は、$\mathbb{R}^{n+2}$ 内の最小曲面とその共役曲面を用い、共役曲面の位置ベクトルの接成分と法成分を組み合わせた写像によって得られる部分多様体をパラメトリックに定義する。

ABSTRACT

We provide a parametric construction in terms of minimal surfaces of the Euclidean submanifolds of codimension two and arbitrary dimension that attain equality in an inequality due to De Smet, Dillen, Verstraelen and Vrancken. The latter involves the scalar curvature, the norm of the normal curvature tensor and the length of the mean curvature vector.

研究の動機と目的

• スカラー曲率、平均曲率、法曲率テンソルの間の点ごとの不等式に等号を達成するすべての$n$次元ユークリッド部分多様体（余次元2）を分類すること。
• 最小曲面とその共役対応物を用いて、このような部分多様体の構成的かつ明示的なパラメータ表示を提供すること。
• 2階の真性部分多様体の共形変換（反転またはステレオグラフィック射影）による像として生じる部分多様体のクラスを特徴づけること。
• 一般化されたワイエルシュトラス表現を介して、曲率不等式における等号と$\mathbb{C}^{n+2}$ 内の正則曲線との対応関係を確立すること。
• 等号クラスが、環境空間$\mathbb{R}^{n+2}$ の共形変換に関して不変であることを証明すること。

提案手法

• 単連結な最小曲面$g: M^2 \to \mathbb{R}^{n+2}$ を取り、$\mathbb{C}$ や単位円板に大域的に共形的であるものとする。
• 複素構造$J$ を用いて$h_* = g_* \circ J$ により、共役最小曲面$h: M^2 \to \mathbb{R}^{n+2}$ を構成する。
• 曲面$g$ に関する$h$ の位置ベクトルを接成分と法成分に分解する：$h = g_* h^T + h^N$。
• $\Lambda$ を$g$ の法バンドルで$h^N$ に直交する部分バンドルとし、$\Lambda_1$ をその単位球面バンドルとする。
• 写像$\phi: \Lambda_1 \to \mathbb{R}^{n+2}$ を$\phi(y,w) = g(y) + g_* J h^T(y) + \|h^N(y)\| w$ により定義する。
• 正則点において、$\phi$ が$\mathbb{R}^{n+2}$ 内の$n$次元部分多様体をパラメトリックに定義し、曲率不等式に等号を達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの余次元2の部分多様体が$\mathbb{R}^{n+2}$ 内で、平均曲率と法曲率テンソルを含むスカラー曲率不等式に等号を達成するか？
• RQ2 このようなすべての部分多様体が、$\mathbb{R}^{n+2}$ 内の最小曲面から明示的に構成可能か？
• RQ3 等号条件は、形状作用素と法バンドルの幾何にどのように関係するか？
• RQ4 共形不変性は、等号を達成する部分多様体のクラスにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 この構成を、反転またはステレオグラフィック射影の下で真性部分多様体にどのように拡張できるか？

主な発見

• $n \geq 3$ である$n$次元の部分多様体で、曲率不等式に等号を達成し、かつ漸近的点および最小点を含まないものは、すべて局所的に最小曲面とその共役曲面から定義される写像$\phi$ を用いてパラメータ表示可能である。
• この構成により、各点における形状作用素が式(1)に示される特定の形$A_\eta$ および$A_\zeta$ を取り、最小の場合には$\lambda = 0$ となる部分多様体が得られる。
• 等号部分多様体のクラスは、環境空間$\mathbb{R}^{n+2}$ の共形変換に関して不変であり、形状作用素のトレースレス部分が共通関数でスケーリングされるためである。
• $\mathbb{R}^{n+2}$ 内の等号部分多様体は、すべて2階の真性部分多様体の反転像として得られ、このような部分多様体は、$\langle g, h \rangle = 0$ および$\langle g - P_0, g - P_0 \rangle = \langle h, h \rangle$ を満たす正則曲線$G = g + ih$ に対応する。
• ${\mathcal{I} \circ f}$ に関連する正則曲線$G$ は、特定の複素超曲面${\mathcal{H}_{\epsilon 4d^2}}$ に値をとる。また、$\bar{\nu} = \bar{\lambda} = 0$ であることは、${\mathcal{I} \circ f}$ が真性であることを特徴付ける。
• 共役最小曲面を用いたこのパラメトリック構成により、すべてのこのような等号部分多様体の完全な局所的記述が得られ、$\mathbb{R}^4$ 内の曲面に対する以前の結果が一般化される。