[論文レビュー] Submanifolds of symplectic manifolds with contact border

Francisco Presas|ArXiv.org|Jul 6, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、接触境界をもつシンプレクティック多様体にシンプレクティック部分多様体を構成し、その境界が埋め込まれた接触境界の接触部分多様体であることを示している。近似的に正則な技法と洗練されたジャクソン型近似定理を用いて、相対的リーマン超平面定理を証明する。包含写像は、次元 $n - r$ まで相対ホモロジーに同型を誘導し、$n - r$ でエピモルフィズムを誘導する。部分多様体は、十分大きな $k$ に対して $c_r(L^{\bigotimes k} \otimes E)$ にドーバルなコホモロジー類をもつ。結果として、トポロジカルな特徴付けが得られ、シンプレクティック不変量が sym-con 範疇へ拡張される。

ABSTRACT

We construct symplectic submanifolds of symplectic manifolds with contact border. The boundary of such submanifolds is shown to be a contact submanifold of the contact border. We also give a topological characterization of the constructed submanifolds by means of a ``relative Lefschetz hyperplane Theorem''. We sketch some of the applications of the results.

研究の動機と目的

• 接触境界をもつシンプレクティック多様体（いわゆる sym-con 範疇）に、その部分多様体の境界が周囲の接触境界の接触部分多様体であるようなシンプレクティック部分多様体を構成すること。
• sym-con 範疇における相対的リーマン超平面定理を通じて、このような部分多様体のトポロジカル特徴付けを提供すること。
• 接触境界の状況に適応した、近似的に正則なシンプレクティック位相幾何学の技法を拡張し、境界付近での接触構造の拡張に起因する困難を克服すること。
• 構成された部分多様体のチャーン類の公式を確立し、その幾何学的性質とラインバンドル・ベクトルバンドルの特徴類を結びつけること。

提案手法

• プリケーショナルラインバンドル $L^{igotimes k} \otimes E$ の近似的に正則なセクションを用いて、シンプレクティック部分多様体 $W_k \subset M$ を構成する。
• 導関数の近似誤差を制御するため、ジャクソンの定理の洗練版を適用し、接触境界付近での横断性を保証する。
• 相対ホモロジーを解析するために、$M^d = M^1 \cup M^2$ としてシンプレクティック多様体 $M$ のダブルを構成し、指数 $\geq n - r + 1$ の臨界点をもつ摂動関数 $\hat{f}_k$ に対してモース理論を適用する。
• 切断と鎖の分解技術を用い、$e$ による対称性を活用することで、$H_j(\bar{W}_k, \bar{W}_k \cap C)$ から $H_j(\bar{M}, C)$ への写像が $j \leq n - r$ で同型であることを示す。
• 正規バンドルの関係 $i^*c(TX) = i^*c(E \otimes L^{\bigotimes k}) \cdot c(TW_k)$ を用いて、部分多様体 $W_k$ のチャーン類の公式を導出する。
• 境界付近での横断性の結果に帰着させるために、$C$ の近傍で問題を解けるグローバルセクションを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触境界をもつシンプレクティック多様体に、その境界が周囲の境界の接触部分多様体であるようなシンプレクティック部分多様体を構成できるか？
• RQ2 sym-con 範疇において、相対的リーマン超平面定理は成立するか？ すなわち、部分多様体の相対ホモロジーと周囲多様体の相対ホモロジーとの関係は？
• RQ3 このような部分多様体のトポロジカル不変量は、特にチャーン類を用いて特徴付けられるか？
• RQ4 近似的に正則な手法を、標準的構成が存在しない sym-con 範疇の境界条件に適応できるか？

主な発見

• 十分大きな $k$ に対して、$c_r(L^{\bigotimes k} \otimes E)$ にドーバルなコホモロジー類をもつシンプレクティック部分多様体 $W \subset M$ が存在し、$\bar{W} \cap C$ は $C$ の接触部分多様体である。
• 包含写像 $i: \bar{W} \to \bar{M}$ は、$p < n - r$ に対して相対ホモロジー $H_p(\bar{W}, \bar{W} \cap C) \to H_p(\bar{M}, C)$ を同型に誘導し、$p = n - r$ でエピモルフィズムを誘導する。これにより、相対的リーマン超平面定理が成立する。
• 構成された部分多様体 $W_k$ のチャーン類は、$c_l(TW_k) = (-1)^l \binom{r + l - 1}{l} (k[\omega/2\pi])^l + O(k^{l-1})$ を満たし、幾何学的性質と特徴類を結びつける。
• 接触構造の直接的な境界付近での拡張を避けるために、近似理論による制御と横断性を満たすグローバルセクションを構成する。
• トポロジカルな結果は、整型複素構造の場合に対しても新規であり、sym-con 多様体におけるより深い構造を明らかにする。
• 証明は、$M^d = M^1 \cup M^2$ のダブル構成と、対称性 $e$ による自己同型に依存しており、鎖の分解と切断技術によりホモロジー比較が可能になる。