[論文レビュー] Submanifolds with harmonic mean curvature vector field in contact 3-manifolds

Jun-ichi Inoguchı|ArXiv.org|Oct 16, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、3次元のSasakian空間形式における平均曲率ベクトル場が調和的である部分多様体および多調和写像を調査する。定曲率の複素断面曲率 $c$ を持つ一般のSasakian空間形式へ、3次元球面 $S^3$ における結果を一般化し、$c > 1$ のとき非最小多調和ホフォクシリンダが存在することを示す。具体的には、曲率 $ar{\kappa} = \sqrt{c-1}$ のリーマン円として実現され、同型空間における非最小かつ非全 umbilical 多調和表面の存在に関する予想を解決する。

ABSTRACT

Biharmonic or polyharmonic curves and surfaces in 3-dimensional contact manifolds are investigated.

研究の動機と目的

• 3次元球面 $S^3$ における双調和的および多調和的部分多様体に関する結果を、一般の3次元Sasakian空間形式へ一般化すること。
• 平均曲率ベクトル場の調和性と、双調和性および多調和性との関係を調査すること。
• Sasakian空間形式において $\Delta\mathbb{H} = \lambda\mathbb{H}$ または $\mathscr{T}_2(\iota) = 0$ を満たすLegendre曲線およびホフォクシリンダの分類を行うこと。
• 非最小かつ全 umbilical でない多調和的表面が同型Riemann多様体に存在するための条件を特定すること。
• Sasakian幾何における部分多様体へ、Jacobi作用素と安定性条件の研究を拡張すること。

提案手法

• 定複素断面曲率 $c$ を持つSasakian空間形式に特有のLevi-Civita接続および曲率公式を用いる。
• ビテンション場 $\mathscr{T}_2(\phi)$ を用いて双調和写像を定義し、ホフォクシリンダに対して $\mathscr{T}_2(\iota) = -2\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H})$ という条件を導出する。
• 第二基本形式および曲率項を用いてJacobi作用素 $\mathcal{J}_\iota$ を計算し、$\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = 6HH'\mathbf{t} - (H'' - 4H^3 + (c-1)H)\mathbf{n} - 2H'\xi$ を得る。
• ホフォクシリンダ構造およびReebベクトル場に適合した正規直交フレーム場 $\{\mathbf{t}, \xi\}$ に依存した解析を行う。
• $\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = \lambda\mathbb{H}$ の条件を $H' = 0$ とすることで解き、$H = 0$ または $\lambda = 4H^2 + 1 - c$ を得る。
• Sasakian空間形式 $M^3(c)$ におけるLegendre曲線に対して、曲率恒等式 $R(\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1)\mathbf{p}_1 = c\mathbf{p}_2$ を用い、多調和性条件 $\kappa^2 = c - 1$, $\tau = 1$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Sasakian空間形式におけるLegendre曲線が $\Delta\mathbb{H} = \lambda\mathbb{H}$ を満たす条件は何か？
• RQ2 複素断面曲率 $c > 1$ のSasakian空間形式において、非最小多調和ホフォクシリンダは存在するか？
• RQ3 同型Riemann多様体において、非最小かつ全 umbilical でない多調和的表面は存在可能か？
• RQ4 Jacobi作用素 $\mathcal{J}_\iota$ は、ホフォクシリンダの多調和埋め込みを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 Sasakian空間形式の複素断面曲率 $c$ は、多調和的部分多様体の存在にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $c \leq 1$ のとき、$M^3(c)$ 内のすべての多調和的Legendre曲線は測地線である。
• $c > 1$ のとき、多調和的Legendre曲線は測地線または一定曲率 $\sqrt{c - 1}$ の螺旋である。
• 複素断面曲率 $c > 1$ のSasakian空間形式において、非最小多調和ホフォクシリンダが存在する。具体的には、基底曲線が曲率 $\sqrt{c - 1}$ のリーマン円である場合に実現される。
• Jacobi作用素条件 $\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = \lambda\mathbb{H}$ が成り立つのは、平均曲率 $H$ が定数であり、$H \neq 0$ のとき $\lambda = 4H^2 + 1 - c$ である場合、または $H = 0$ の場合に限る。
• 多調和ホフォクシリンダの基底曲線は測地線またはリーマン円でなければならない。後者は $c > 1$ かつ $\bar{\kappa} = \sqrt{c - 1}$ のときにのみ発生する。
• 本稿は、$S^3$ における既存の結果を拡張し、Sasakian空間形式において非最小かつ全 umbilical でない多調和的表面の存在を確認した。