[論文レビュー] Submetrizability of strongly topological gyrogroups

Meng Bao, Fucai Lin|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2020

Mathematics and Applications参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$T_0$-strongly topological gyrogroupが可算な擬擬性を持つ場合、完全正則かつ部分メトライズ可能なことを確立している。さらに、$H$ が $T_0$-strongly topological gyrogroup $G$ の適切な $L$-部分gyrogroupであるとき、左陪集合空間 $G/H$ が部分メトライズ可能であることを証明しており、構築された擬距離と商位相の議論を通じて、非可換なgyrogroupの設定に、位相群の主要な性質を拡張している。

ABSTRACT

Topological gyrogroups, with a weaker algebraic structure without associative law, have been investigated recently. We prove that each $T_{0}$-strongly topological gyrogroup is completely regular. We also prove that every $T_{0}$-strongly topological gyrogroup with a countable pseudocharacter is submetrizable. Finally, we prove that the left coset space $G/H$ is submetrizable if $H$ is an admissible $L$-subgyrogroup of a $T_{0}$-strongly topological gyrogroup $G$.

研究の動機と目的

• 位相群の基本的な位相的性質を、非可換な強力な位相gyrogroupの設定へと拡張すること。
• 可算な擬擬性を持つ $T_0$-strongly topological gyrogroupが完全正則性および部分メトライズ可能性の条件を満たすかどうかを調査すること。
• 適切な $L$-部分gyrogroup $H$ を持つ $G$ に対して、左陪集合空間 $G/H$ の位相的構造を特定すること。
• 位相群におけるメトライズビリティおよび正則性に関する既知の結果を、gyro群へと一般化すること。

提案手法

• ネストされた近傍の列に基づいて実数値関数 $N(x)$ を構成し、$G$ 上に擬距離 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$ を定義する。
• すべての $x \in G$ および $h \in H$ に対して $N(x \bigoplus h) = N(x)$ が成り立つことを証明し、部分群 $H$ の左平行移動に関して不変であることを示す。
• $G$ 上に擬距離 $d$ を定義し、それを用いて $\varrho(\pi_H(x), \pi_H(y)) = d(\ominus x \oplus y, 0) + d(\ominus y \oplus x, 0)$ により商空間 $G/H$ 上に距離 $\varrho$ を誘導する。
• gyro群演算および回転自己同型の性質を用いて、$\varrho$ が距離の公理（三角不等式を含む）を満たすことを検証する。
• $\varrho$ が誘導する位相が商位相より粗いことを示し、$G/H$ の部分メトライズビリティを証明する。
• すべての完全正則かつ部分メトライズ可能な空間はDieudonné完備であるという結果を応用し、完備性に関する推論を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $T_0$-strongly topological gyrogroupは完全正則か？
• RQ2 可算な擬擬性を持つ $T_0$-strongly topological gyrogroupは、より弱いメトライズブルな位相を備えるか？
• RQ3 $H$ が $G$ の適切な $L$-部分gyrogroupであるとき、左陪集合空間 $G/H$ がどのような条件下で部分メトライズ可能か？
• RQ4 位相群の位相的性質を、強力な位相gyro群の非可換設定へと拡張できるか？

主な発見

• すべての $T_0$-strongly topological gyrogroupは完全正則であり、これは位相群において知られている性質の拡張である。
• 可算な擬擬性を持つすべての $T_0$-strongly topological gyrogroupは部分メトライズ可能であり、より弱いメトライズブルな位相を備える。
• $H$ が $T_0$-strongly topological gyrogroup $G$ の適切な $L$-部分gyrogroupであるとき、左陪集合空間 $G/H$ は部分メトライズ可能である。
• 構築された擬距離 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$ は、$H$ の要素による左平行移動に関して不変であり、$G/H$ 上に整合性のある距離の定義を可能にする。
• $G/H$ 上の距離 $\varrho$ は適切に定義されており、三角不等式を満たすため、真の距離である。
• その結果、可算な擬擬性を持つすべての $T_0$-strongly topological gyrogroupはDieudonné完備である。