[論文レビュー] Submodular Order Functions and Assortment Optimization

Rajan Udwani|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、基底集合の特定の順列に沿って限定的な形の劣微分性を示す単調で下加法的な集合関数であるサブモジュラ順序関数を導入する。サイズ制約付き最大化に対して、O(n/ϵ log n)のクエリ複雑度で0.5−ϵ近似アルゴリズムを提示し、多項式クエリ下で0.5が本質的に達成可能な最良の保証であることを証明する。さらに、予算制約およびマトロイド制約へと拡張し、MNLおよびマコフ選択モデル下での制約付きアソートメント最適化に対する最初の定数係数近似を可能にする。

ABSTRACT

We define a new class of set functions that in addition to being monotone and subadditive, also admit a very limited form of submodularity defined over a permutation of the ground set. We refer to this permutation as a submodular order. This class of functions includes monotone submodular functions as a sub-family. We give fast algorithms with strong approximation guarantees for maximizing submodular order functions under a variety of constraints and show a nearly tight upper bound on the highest approximation guarantee achievable by algorithms with polynomial query complexity. Applying this new notion to the problem of constrained assortment optimization in fundamental choice models, we obtain new algorithms that are both faster and have stronger approximation guarantees (in some cases, first algorithm with constant factor guarantee). We also show an intriguing connection to the maximization of monotone submodular functions in the streaming model, where we recover best known approximation guarantees as a corollary of our results.

研究の動機と目的

• 標準のクエリモデル下で定数係数近似が得られない、サイズ制約下での単調で下加法的関数の最大化の非効率性に対処すること。
• サブモジュラ関数を一般化する新しい構造的クラス「サブモジュラ順序関数」を導入し、効率的な近似アルゴリズムを可能にすること。
• 一般選択モデル（例：MNL、マコフモデル）下での制約付きアソートメント最適化に対して、最初の定数係数近似保証を提供すること。
• クエリ複雑度のタイトな境界を確立し、多項式クエリ下でサイズ制約付き最大化に対して0.5が達成可能な最良の近似比であることを示すこと。
• サブモジュラ順序関数とストリーミングサブモジュラ最大化の間の関係を調査し、既知の保証を帰納的に回復すること。

提案手法

• サブモジュラ順序を、集合Aに要素をπの右側に追加する際の限界利益が、任意の部分集合B⊆Aに対する限界利益を超えないような順列πとして定義する。
• 限界利益に基づいて現在の解に要素を逐次追加するグリーディスタイルのアルゴリズムを提案し、サブモジュラ順序構造を活用して近似保証を保証する。
• 確率的議論と集中不等式（例：一般化されたチェルノフの不等式）を用いて、確率的アルゴリズムが高価値クエリを逃す可能性を分析する。
• 多項式クエリアルゴリズムが0.5より良い近似を達成できないことを示すハードネス結果を、困難なインスタンスへの還元により確立する。
• 選択モデルの目的関数（例：MNL、マコフ）がサブモジュラ順序を満たすことを示し、アルゴリズム的保証を可能にする。
• ストリーミングサブモジュラ最大化との関係を活用して、主結果の系として既知の近似比を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準のサブモジュラ性が成り立たない状況下で、サイズ制約下での単調で下加法的関数の最大化に対して定数係数近似が達成可能か？
• RQ2 多項式クエリアルゴリズムが、単調で下加法的関数のサイズ制約付き最大化に対して達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 サブモジュラ順序構造を活用することで、一般選択モデル（例：MNL、マコフモデル）下での制約付きアソートメント最適化に対して、最初の定数係数保証を得られるか？
• RQ4 サブモジュラ順序構造は、ストリーミング最適化の既存問題とどのように関係し、既知の結果を回復できるか？
• RQ5 価値クエリのみを用いて関数のサブモジュラ順序を特定可能か？そして、事前の知識なしにこれによりより良い近似が可能か？

主な発見

• サブモジュラ順序関数のサイズ制約付き最大化に対して、O(n/ϵ log n)のクエリ複雑度で0.5−ϵ近似アルゴリズムが達成可能である。
• 0.5の近似比は本質的にタイトである：任意の多項式クエリアルゴリズムは、任意のϵ>0に対して0.5+ϵより良い近似を達成できない。
• 予算制約付き最大化では、O(n^{1/ϵ})のクエリ複雑度で0.5−ϵ近似が達成可能であり、近線形クエリ複雑度で1/3−ϵ近似が得られる。
• マトロイド制約付き最大化では、O(nd)のクエリ複雑度で0.25近似が達成可能であり、dはマトロイドのランクを表す。
• アソートメント最適化におけるMNLおよびマコフ選択モデルの目的関数がサブモジュラ順序と整合することを示し、制約下で最初の定数係数保証を可能にする。
• このフレームワークにより、ストリーミングサブモジュラ最大化の既知の近似保証が主結果の系として回復され、サブモジュラ順序とストリーミングアルゴリズムの深い関係が示された。