[論文レビュー] Submodular Secretary Problem with Shortlists

Shipra Agrawal, Mohammad Shadravan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Optimization and Search Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、オンラインアルゴリズムが最終的な $k$ 個のアイテムを選択する前により大きな短縮リストを選び出すことを許容する、短縮リスト付きの部分加法的 $k$-セクレタリー問題を導入する。多項式時間アルゴリズムを提示し、$O(k)$ の短縮リストを用いて $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$ の競合比を達成する。これは、より少ないメモリとより良い近似因子を用いて、従来のストリーミング結果を著しく改善する。

ABSTRACT

In submodular $k$-secretary problem, the goal is to select $k$ items in a randomly ordered input so as to maximize the expected value of a given monotone submodular function on the set of selected items. In this paper, we introduce a relaxation of this problem, which we refer to as submodular $k$-secretary problem with shortlists. In the proposed problem setting, the algorithm is allowed to choose more than $k$ items as part of a shortlist. Then, after seeing the entire input, the algorithm can choose a subset of size $k$ from the bigger set of items in the shortlist. We are interested in understanding to what extent this relaxation can improve the achievable competitive ratio for the submodular $k$-secretary problem. In particular, using an $O(k)$ shortlist, can an online algorithm achieve a competitive ratio close to the best achievable online approximation factor for this problem? We answer this question affirmatively by giving a polynomial time algorithm that achieves a $1-1/e-\epsilon -O(k^{-1})$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using a shortlist of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$. Also, for the special case of m-submodular functions, we demonstrate an algorithm that achieves a $1-\epsilon$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using an $O(1)$ shortlist. Finally, we show that our algorithm can be implemented in the streaming setting using a memory buffer of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$ to achieve a $1 - 1/e - \epsilon-O(k^{-1})$ approximation for submodular function maximization in the random order streaming model. This substantially improves upon the previously best known approximation factor of $1/2 + 8 imes 10^{-14}$ [Norouzi-Fard et al. 2018] that used a memory buffer of size $O(k \log k)$.

研究の動機と目的

• 短縮リストによる $k$ 選択制約の緩和が、部分加法的 $k$-セクレタリー問題における競合比を向上させられるかを検討すること。
• 一般の単調部分加法的関数に対して、$O(k)$ の短縮リストサイズのみを用いて理論的最適値 $1 - 1/e$ に近い競合比を達成するオンラインアルゴリズムを設計すること。
• 最小限のメモリ使用量で、ランダム順序ストリーミングモデルへのアプローチを拡張すること。
• $m$-部分加法的関数に対して、$O(1)$ の短縮リストサイズで $1 - \epsilon$ の競合比を達成できることを示すこと。
• より少ないメモリを用いて、従来の最高のストリーミング近似因子 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$ よりも優れた結果を得ること。

提案手法

• 最終的な $k$ 個のアイテム選択の前に、$O(k)$ のサイズの短縮リストを選択する緩和を提案する。
• ランダム順序で処理されるアイテムを段階的に扱い、適応的に短縮リストを構築する多項式時間アルゴリズムを用いる。
• 探索と活用のバランスを取るために、しきい値処理とサンプリング戦略を短縮リスト構築に適用する。
• 部分加法的関数に基づく貪欲選択を用いて、短縮リストから最良の $k$ 個のアイテムを選択する後処理ステップを実装する。
• $m$-部分加法的関数に対しては、定数サイズの短縮リストで近最適性能を達成する特殊な選択メカニズムを用いる。
• 短縮リストを格納する $O(k)$ のメモリバッファを維持することで、ストリーミングモデルにアルゴリズムを適応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短縮リストサイズ $O(k)$ を許容することで、部分加法的 $k$-セクレタリー問題における競合比が向上するか？
• RQ2 一般の単調部分加法的関数に対して、$O(k)$ の短縮リストサイズでのみ、$1 - 1/e - \epsilon$ の競合比を達成できるか？
• RQ3 $m$-部分加法的関数に対して、短縮リストサイズを $O(1)$ にまで削減しながら、近最適性能を維持できるか？
• RQ4 短縮リスト緩和により、先行研究と比較してランダム順序ストリーミングモデルにおける近似因子が向上するか？
• RQ5 制限されたメモリを用いたストリーミング設定でも、アルゴリズムを効率的に実装できるか？

主な発見

• 任意の定数 $\epsilon > 0$ に対して、$O(k)$ の短縮リストを用いて、競合比 $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$ を達成する。
• $m$-部分加法的関数に対しては、$O(1)$ の短縮リストのみを用いて $1 - \epsilon$ の競合比を達成する。
• メモリバッファサイズ $O(k)$ を用いてストリーミングモデルに実装可能であり、オフライン短縮リスト版と同一の近似因子を達成する。
• これは、$O(k \log k)$ のメモリを要した従来の最高のストリーミング近似因子 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$ よりも優れている。
• 短縮リスト緩和の下で、このクラスの問題における既知の最高達成可能要因 $1 - 1/e$ に近づく競合比が達成される。
• 短縮リスト緩和により、短縮リストサイズのわずかな増加で近似品質が著しく向上することが可能である。