[論文レビュー] Submodular spectral functions of principal submatrices of a hermitian matrix, extensions and applications

Shmuel Friedland, Stéphane Gaubert|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、区間 E にスペクトルをもつエルミート行列 A に対して、f が E 上の作用素単調関数の原始関数であるとき、写像 I ↦ tr f(A[I]) が超モodular であることを確立する。主な貢献は、作用素単調性と Loewner 理論を用いて、古典的なハダマール＝フィッシャーの行列式不等式をスペクトル関数へ一般化することであり、CUR 近似や M-行列への応用を含む。

ABSTRACT

We extend the multiplicative submodularity of the principal determinants of a nonnegative definite hermitian matrix to other spectral functions. We show that if $f$ is the primitive of a function that is operator monotone on an interval containing the spectrum of a hermitian matrix $A$, then the function $I\mapsto { m tr} f(A[I])$ is supermodular, meaning that ${ m tr} f(A[I])+{ m tr} f(A[J])\leq { m tr} f(A[I\cup J])+{ m tr} f(A[I\cap J])$, where $A[I]$ denotes the $I imes I$ principal submatrix of $A$. We discuss extensions to self-adjoint operators on infinite dimensional Hilbert space and to $M$-matrices. We discuss an application to CUR approximation of nonnegative hermitian matrices.

研究の動機と目的

• エルミート行列の主小行列の積の乗法的下位モodularity（det A[I] を通じて）を、一般のスペクトル関数へ拡張すること。
• 主小行列の関数のトレース tr f(A[I]) が超モodular となる条件を同定すること。
• 作用素単調性、作用素凸性、および下位モodular 関数論との関係を確立すること。
• 結果を無限次元ヒルベルト空間上の自己随伴作用素へ、および M-行列へ拡張すること。
• 非負定値エルミート行列に対する CUR 行列近似への理論の応用を示すこと。

提案手法

• 作用素単調関数とその原始関数との関係を、Loewner 理論を用いて関係づける。
• スペクトル定理を用いて、エルミート行列 A と部分行列インデックス集合 I に対して f(A[I]) を定義する。
• 超モodularity の概念を用いる：すべての I, J ⊆ [m] に対して、tr f(A[I]) + tr f(A[J]) ≤ tr f(A[I ∪ J]) + tr f(A[I ∩ J]) が成り立つ。
• 作用素単調関数の積分表現と連続性の議論を用いて、主要な結果を証明する。
• テイラー展開とブロック行列分解を用いた反例を構築し、[0,1] および [1,2] の外では超モodularity が成り立たないことを示す。
• 結果を M-行列に適用し、スペクトル理論を用いて無限次元自己随伴作用素へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルミート行列 A と関数 f に対して、写像 I ↦ tr f(A[I]) が超モodular となる条件は何か？
• RQ2 f が作用素凸関数に限る場合、tr f(A[I]) の超モodularity は成り立つか？それとも f は作用素単調関数の原始関数でなければならないか？
• RQ3 主小行列の下位モodularity 性質を、行列式の範囲を越えて、A[I]^p や A[I] log A[I] などの他のスペクトル関数へ一般化できるか？
• RQ4 f が作用素単調関数の原始関数でない場合、tr f(A[I]) の超モodularity にどのような制限があるか？
• RQ5 これらのスペクトル的下位モodularity 結果は、無限次元自己随伴作用素および M-行列へどのように拡張できるか？

主な発見

• f が A のスペクトル上で作用素単調関数の原始関数であるとき、写像 I ↦ tr f(A[I]) は超モodular である。
• 0 ≤ p ≤ 1 のとき、tr A[I]^p は下位モodular である。1 ≤ p ≤ 2 のとき、超モodular である。
• p ∈ (2,3) のとき、厳密な下位モodularity が生じる可能性がある。p > 3 または p < 0 のとき、厳密な超モodularity が成立しない可能性がある。
• 反例により、一般の作用素凸関数に対しても超モodularity が成り立たないことが示された。たとえ f が作用素単調関数の原始関数であっても同様である。
• 写像 A ↦ tr f(A[I]) は、スペクトルが E に含まれるエルミート行列の集合上で凸である。
• 結果は M-行列および分離可能なヒルベルト空間上の自己随伴作用素へ拡張され、類似のスペクトル不等式が成り立つ。