[論文レビュー] Subordination of Hilbert space valued Lévy processes

Fred Espen Benth, Paul Krühner|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程の多次元的劣化をヒルバート空間値Lévy過程へ一般化し、積分可能性およびマルティンゲール性の条件を確立する。特に、逆ガウス的劣化子によって円形ウィーナー過程を劣化させることで、ヒルバート空間値正規逆ガウス過程を含む無限次元Lévy過程を構成し、その有限次元的投影が多次元正規逆ガウス分布に一致することを保証する。

ABSTRACT

We generalise multivariate subordination of Lévy processes as introduced by Barndorff-Nielsen, Pedersen, and Sato to Hilbert space valued Lévy processes. The processes are explicitly characterised and conditions for integrability and martingale properties are derived under various assumptions of the Lévy process and subordinator. As an application of our theory we construct explicitly some Hilbert space valued versions of Lévy processes which are popular in the univariate and multivariate case. In particular, we define a normal inverse Gaussian Lévy process in Hilbert space as a subordination of a Hilbert space valued Wiener process by an inverse Gaussian Lévy process. The resulting process has the property that at each time all its finite dimensional projections are multivariate normal inverse Gaussian distributed as introduced in Rydberg(97).

研究の動機と目的

• ヒルバート空間値過程の無限次元的設定への、Lévy過程の多次元的劣化の拡張を目的とする。
• 劣化されたヒルバート空間値Lévy過程のLévy特性および特性関数の特徴づけを行う。
• 劣化過程における一階および二階モーメントの存在の十分条件を導出する。
• ヒルバート空間値正規逆ガウス過程を含む、無限次元Lévy過程の明示的構成を行う。
• 得られた過程の有限次元的投影が、既知の多次元分布（例：多次元正規逆ガウス分布）と一致することを保証する。

提案手法

• 独立なヒルバート空間値Lévy過程 $L_j$ に独立な劣化子 $\Theta_j$ を適用し、$X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$ を形成する。
• 劣化過程のLévy指数および特性は、基本Lévy過程および劣化子の特性から導出される。
• 二階モーメント構造は、共分散作用素およびLévy測度を用いて特徴づけられ、$\mathrm{Tr}(Q)$ および $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx)$ に対する条件が積分可能性を保証する。
• マルティンゲール性は、過程の生成作用素および $UC_b^2$ 内のテスト関数の微分の有界性を用いて分析される。
• ヒルバート空間値正規逆ガウス過程は、逆ガウス的劣化子による円形ウィーナー過程の劣化によって構成される。
• 補題を用いて、増分および切り詰め過程の期待値を評価し、生成作用素および切り詰め関数 $\chi(x) = x \mathbf{1}_{\{|x|\leq 1\}}$ を用いて、一様連続性およびモーメントの有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣化されたヒルバート空間値Lévy過程 $X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$ が適切に定義され、確率的に連続であるための条件は何か？
• RQ2 劣化過程における一階および二階モーメントの存在に必要な十分条件は、基本Lévy過程および劣化子のどの特性に依存するか？
• RQ3 劣化されたヒルバート空間値Lévy過程がマルティンゲールであるための条件は何か？また、これは基本過程および劣化子の特性にどのように依存するか？
• RQ4 劣化フレームワークを用いて、正規逆ガウス過程のような代表的な単変量および多次元Lévy過程の無限次元版を構成可能か？
• RQ5 劣化されたヒルバート空間値過程の有限次元的投影は、多次元正規逆ガウス分布のような既知の多次元分布を回復するか？

主な発見

• 劣化されたヒルバート空間値Lévy過程 $X(t)$ は、適切に定義されたLévy過程であり、その特性関数およびLévy三重対は、基本過程および劣化子の言及で明示的に表現される。
• 二階モーメントが存在するのは $\mathrm{Tr}(Q) < \infty$ および $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx) < \infty$ のときであり、劣化子のLévy測度に対しても追加の積分可能性条件が必要である。
• 過程がマルティンゲールであるのは、基本過程のドリフト $b$ および劣化子の特性が特定のバランス条件を満たすときであり、特に劣化子がゼロのドリフトかつ原点近傍で有限な活動度を持つときが重要である。
• ヒルバート空間値正規逆ガウス過程は、逆ガウス的劣化子による円形ウィーナー過程の劣化によって構成され、その有限次元的投影は多次元正規逆ガウス分布に従う。
• 切り詰め過程 $\chi(L(\theta))$ の期待値は、ある定数 $C$ を用いて $C|\theta|$ で有界であり、$\theta \in \mathbb{R}_+^d$ に対して一様に成り立つ。これにより安定性および積分可能性が保証される。
• 任意の $f \in UC_b^2$ に対して、期待値 $\mathbb{E}[f(L(\theta))]$ は $|\mathbb{E}[f(L(\theta))] - f(0)| \leq C \sum_{j=1}^d \theta_j$ を満たす。ここで $C$ は $f$ の上界および一階・二階微分の上界と、$L$ の特性に依存する。