[論文レビュー] Subrepresentations in the Polynomial Representation of the Double Affine Hecke Algebra of type $GL_n$ at $t^{k+1}q^{r-1}=1$

Masahiro Kasatani|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、特殊化パラメータ $t^{k+1}q^{r-1}=1$ の下で、$GL_n$ 型の二重アフィンヘッケ代数の多項式表現における一連の部分表現を、非対称なホイル条件を用いて構成する。理想 $I_1^{(k,r)}$ が無限大であり、$\beta^{(k,r)}$ を満たす整数列によって添字づけられる非対称マクドナルド多項式による明示的基底を有することを証明し、対称的な結果を非対称な設定へと拡張する。

ABSTRACT

We study a Laurent polynomial representation $V$ of the double affine Hecke algebra of type $GL_n$ for specialized parameters $t^{k+1}q^{r-1}=1$. We define a series of subrepresentations of $V$ by using a vanishing condition. For some cases, we give an explicit basis of the subrepresentation in terms of nonsymmetric Macdonald polynomials. These results are nonsymmetric versions of \cite{FJMM} and \cite{KMSV}.

研究の動機と目的

• 二重アフィンヘッケ代数の多項式表現における理想に関する対称的結果を、非対称な状況へと拡張すること。
• ローレンツ多項式表現において、新たな消失条件（「非対称ホイル条件」として呼ばれる）を定義し、それらの部分表現を研究すること。
• 特殊化パラメータにおける非対称マクドナルド多項式を用いて、これらの部分表現の明示的基底を構成すること。
• 最初の部分表現 $I_1^{(k,r)}$ の無限大性を証明し、双対性およびフィルトレーション技術を用いてそのキャラクターを確立すること。
• すべての連続する商 $I_m^{(k,r)}/I_{m-1}^{(k,r)}$ が無限大であるという予想を提示し、$n = k+1$ の場合に検証すること。

提案手法

• 特定の変数比 $x_{i_{l,a+1}} = x_{i_{l,a}} t q^{s_{l,a}}$ が満たされるとき、ローレンツ多項式に消失条件（「非対称ホイル条件」）を課す。この条件にはインデックスおよび指数に関する制約が付随する。
• $m$ 個の互いに素な $(k+1, r-1)$ 型の近傍において、この条件を満たすローレンツ多項式の空間として理想 $I_m^{(k,r)}$ を定義する。
• 非対称マクドナルド多項式の双対性関係を用いて、極と零点の位数を解析し、特殊化パラメータ $t = u^{(r-1)/M}, q = \tau u^{-(k+1)/M}$ において極を有しないことを保証する。
• 多項式表現上にフィルトレーション $V_{(M)}$ を構成し、テンソル空間との非退化的双対性を定義することで、$I_1^{(k,r)} \cap V_{(M)}$ のキャラクターを推定する。
• 相互作用作用素を用いて、任意の $E_\lambda$（$ abla \in B^{(k,r)}$）が $I_1^{(k,r)}$ の巡回ベクトルであることを示し、無限大性を証明する。
• 特に $n = k+1$ の場合、$V/I_1^{(n-1,r)}$ が無限大であり、基底 $ abla \in S^{(n-1,r)}\}$ によって与えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式表現における理想の対称的ホイル条件を、非対称な設定へと一般化する方法は何か？
• RQ2 特殊化パラメータ $t^{k+1}q^{r-1}=1$ の下で、二重アフィンヘッケ代数の多項式表現における部分表現 $I_1^{(k,r)}$ の構造は何か？
• RQ3 特殊化パラメータにおける非対称マクドナルド多項式を用いて、$I_1^{(k,r)}$ の明示的基底を構成できるか？
• RQ4 すべての $m$ に対して、商 $I_m^{(k,r)}/I_{m-1}^{(k,r)}$ は無限大か？
• RQ5 特別な場合 $n = k+1$ において、商 $V/I_1^{(n-1,r)}$ のキャラクターおよび無限大性は何か？

主な発見

• 理想 $I_1^{(k,r)}$ は、特殊化パラメータ $t^{k+1}q^{r-1}=1$ の下で、二重アフィンヘッケ代数 $\mathcal{H}_n^{(k,r)}$ の無限大表現である。
• 基底 $I_1^{(k,r)}$ は、$\lambda \in B^{(k,r)}$ に対して与えられる非対称マクドナルド多項式 $E_\lambda$ で与えられる。ここで $B^{(k,r)}$ は、$\lambda_{i_a} - \lambda_{i_{a+k}} \geq r$ または $\lambda_{i_a} - \lambda_{i_{a+k}} = r-1$ かつ $i_a < i_{a+k}$ を満たす整数列の集合である。
• 特殊化パラメータ $t = u^{(r-1)/M}, q = \tau u^{-(k+1)/M}$ において、$\lambda \in B^{(k,r)}$ に対する多項式 $E_\lambda$ は正しく定義されており（極を有しない）、有効である。
• $n = k+1$ の場合、商 $V/I_1^{(n-1,r)}$ は無限大であり、基底 $\{E_\lambda \mid \lambda \in S^{(n-1,r)}\}$ を持つ。ここで $S^{(n-1,r)}$ は、高々1つの $(k+1, r-1)$ 型の近傍を持つ $\lambda$ の集合である。
• 商 $I_1^{(1,r)}/I_1^{(1,r)}$ は無限大であり、$Y$-半単純でもないため、高次の商において非自明な表現構造が存在することが示唆される。
• すべての商 $I_m^{(k,r)}/I_{m-1}^{(k,r)}$ が無限大であるという予想は、$n = k+1$ の場合に検証されており、他の場合についても部分的な証拠によって支持されている。