[論文レビュー] Subresultants in Recursive Polynomial Remainder Sequence

Akira Terui|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非自明なGCDをもつ多項式のための古典的サブリジュエント理論の拡張として、再帰的多項式剰余列（recursive PRS）および再帰的サブリジュエントを導入する。GCDとその導関数に対してPRSを再帰的に適用することにより、再帰的スターミー列を介して実根の重複度を安定して計算可能となる。再帰的サブリジュエントは、元の多項式係数を用いた係数の行列式表現を提供し、近似代数計算における数値安定性を向上させる。

ABSTRACT

We introduce concepts of "recursive polynomial remainder sequence (PRS)" and "recursive subresultant," and investigate their properties. In calculating PRS, if there exists the GCD (greatest common divisor) of initial polynomials, we calculate "recursively" with new PRS for the GCD and its derivative, until a constant is derived. We call such a PRS a recursive PRS. We define recursive subresultants to be determinants representing the coefficients in recursive PRS by coefficients of initial polynomials. Finally, we discuss usage of recursive subresultants in approximate algebraic computation, which motivates the present work.

研究の動機と目的

• 古典的サブリジュエント理論を、非自明なGCDをもつ多項式に対応させる再帰的多項式剰余列（recursive PRS）に拡張すること。
• 再帰的サブリジュエントを、初期多項式の係数から形成される行列式として定義し、再帰的PRS内の係数を表現すること。
• 特に再帰的スターミー列における小さな先頭係数の検出に寄与する近似代数計算における数値安定性の向上。
• 基本定理のサブリジュエント版に類似した再帰的サブリジュエントの理論的基盤を提供すること。
• 浮動小数点演算におけるゼロ認識の強化を支援するため、再帰的サブリジュエントをシルベスター行列の条件と結びつけること。

提案手法

• GCDとその導関数に対して再帰的にPRSを計算し、定数が得られるまで繰り返すことで、再帰的PRSを定義する。
• 初期多項式の係数から形成される行列式として再帰的サブリジュエントを導入し、再帰的PRS内の要素を表現する。
• 各新しいPRSが、直前の列における最後の非定数項とその導関数から計算されることを再帰的構造として確立する。
• 行列変換および列交換を用いて、再帰的サブリジュエント行列式を、以降のPRSレベルにおけるサブリジュエントと関連付ける。
• シルベスター行列の条件を活用し、先頭係数のスケーリングによる正規化を用いて、数値評価の安定化を図る。
• 再帰的スターミー列に再帰的サブリジュエントフレームワークを適用し、重複度を含む実根の数え上げを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しGCDと導関数の計算から生じる再帰的多項式剰余列（recursive PRS）に対応させるために、古典的サブリジュエント理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 再帰的サブリジュエントの代数的構造は何か。また、再帰的PRS内の多項式の係数とどのように関係するか。
• RQ3 再帰的サブリジュエントは、特に小さなまたは近似ゼロの先頭係数の検出に寄与する近似代数計算における数値安定性を向上させることができるか。
• RQ4 シルベスター行列にどのような条件を課すと、再帰的スターミー列における信頼性の高いゼロ認識が保証されるか。
• RQ5 複数の根または近接する根をもつ多項式において、再帰的サブリジュエントを用いて実根（重複度を含む）の数を計算する方法は何か。

主な発見

• 再帰的サブリジュエントは、初期多項式の係数を用いて再帰的PRS内の係数を表現する行列式として定義される。
• 本稿では、サブリジュエントの基本定理の再帰的アナログを証明し、再帰的サブリジュエントが再帰的PRSの構造を決定することを示した。
• 再帰的サブリジュエントは、低レベルのサブリジュエントのスケーリングされた積として表現可能であり、スケーリング要因には中間のGCDの先頭係数の累乗が含まれる。
• 再帰的サブリジュエント行列式の行列式が、連続するPRSレベルからのサブリジュエントの積に比例することを示し、明示的なスケーリング定数を特定した。
• 再帰的サブリジュエントの構造を分析することで、再帰的スターミー列における小さな先頭係数の安定的検出が可能となった。
• サブリジュエント行列式をシルベスター行列の条件と結びつけることで、浮動小数点演算における信頼性の高いゼロ認識が可能となり、実根数え上げの耐障害性が向上した。