[論文レビュー] Subsampling for General Statistics under Long Range Dependence with application to change point analysis

Annika Betken, Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 52被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、長-range依存性を持つ時系列における一般統計量のためのサブサンプリング手法を提案し、不確実パラメータの推定を伴わずに妥当な推論を可能にする。サブサンプリングの漸近的妥当性を、従属ガウス過程に対して確立し、自己正規化された変動点検定に応用することで、長記憶下でも構造的変化を一貫して検出可能となる。

ABSTRACT

In the statistical inference for long range dependent time series the shape of the limit distribution typically depends on unknown parameters. Therefore, we propose to use subsampling. We show the validity of subsampling for general statistics and long range dependent subordinated Gaussian processes which satisfy mild regularity conditions. We apply our method to a self-normalized change-point test statistic so that we can test for structural breaks in long range dependent time series without having to estimate any nuisance parameter. The finite sample properties are investigated in a simulation study. We analyze three data sets and compare our results to the conclusions of other authors.

研究の動機と目的

• 長-range依存性を持つ時系列における極限分布の形状が不明であるという課題に対処すること。これは、標準的な漸近的推論を困難にする。
• 移動ブロックブートストラップなどのブートストラップ手法の限界を克服すること。これらの手法は長-range依存性下では機能しない。
• ハースト指数や記憶パラメータなどの未知パラメータの推定を避ける非パラメトリックなサブサンプリングアプローチを開発すること。
• 一般統計量に対するサブサンプリングの理論的妥当性を、部分和を超える範囲へと拡張し、長-range依存性下での適用可能性を確立すること。
• 自己正規化された変動点検定統計量にこの手法を応用し、スケーリング定数の事前推定を必要とせずに構造的変化を検出すること。

提案手法

• 重複するサイズ $ l_n $ のブロックに対して、検定統計量の経験的分布を計算することでサブサンプリングを行う。ここで $ l_n \to \infty $ かつ $ l_n = o(n) $ である。
• ブロック統計量 $ T_{l,i} $ が $ T_n $ と同じ極限分布に収束することを活用し、標本分布の経験的推定が可能となる。
• グリヴェンコ＝カンテリの定理を用いて、経験的分布関数 $ \hat{F}_{l,n}(t) $ の一様収束を示す。
• 定常性と混合条件を用いて、経験的分布の分散を制御し、確率的に収束を保証する。
• ポターサの定理とヘルンイト順序に関するモーメントバウンドを用いて、共分散項における長-range依存性の影響を制御する。
• 慢性的関数 $ L_\gamma $ に対する弱い正則性条件のもとで一貫性を確立し、広範な長-range依存性を持つ過程に対して本手法が有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限分布が未知パラメータに依存する場合でも、長-range依存性を持つ時系列における一般統計量に対してサブサンプリングを有効にできるか？
• RQ2 変動点検定において、ハースト指数や記憶パラメータなどの不確実パラメータの推定を回避できるか？
• RQ3 長記憶を持つ従属ガウス過程の複雑な依存構造に対しても、サブサンプリング手法は頑健か？
• RQ4 有限標本において、長-range依存性を持つデータの構造的変化を検出する際、サブサンプリング手法はどの程度の性能を示すか？
• RQ5 漸近的分布が分数 Browm運動の関数として表される自己正規化統計量に対しても、サブサンプリングを適用可能か？

主な発見

• 長-range依存性を持つ従属ガウス過程における一般統計量に対して、弱い正則性条件のもとでサブサンプリングは漸近的に妥当である。
• 経験的分布関数の一致収束が確立され、信頼性の高い推論が可能となる。
• 経験的分布推定量の分散はゼロに収束する。これは長-range依存性下での一貫性にとって極めて重要である。
• 極限分布が非正規かつ未知パラメータに依存する場合であっても、変動点検定における不確実パラメータの推定を回避できる。
• シミュレーションスタディにより、サブサンプリングに基づく変動点検定の有限標本性能が良好であることが確認された。
• 3つの実データセットに対する実応用分析では、本手法が他の手法と一貫した結論を導くことが示され、実用的有効性が検証された。