[論文レビュー] Subshifts with Slowly Growing Numbers of Follower Sets

Thomas French, Nic Ormes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Cellular Automata and Applications被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、長さ $ n $ の語に対して高々 $ n $ 個の異なるフォロワーセットをもつ部分系列がソフィックであるという予想を検討する。$ n \leq 3 $ についてその予想を証明し、$ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $ がソフィック性を示すことを確立し、広範なクラスのコーデッド部分系列についても検証する。これにより、フォロワーセットの成長率を通じた部分系列の構造的制約に関する理解が進展する。

ABSTRACT

For any subshift, define $F_X(n)$ to be the collection of distinct follower sets of words of length $n$ in $X$. Based on a similar result of the second and third authors, we conjecture that if there exists an $n$ for which $|F_X(n)| \leq n$, then $X$ is sofic. In this paper, we prove several results related to this conjecture, including verifying it for $n \leq 3$, proving that the conjecture is true for a large class of coded subshifts, and showing that if there exists $n$ for which $|F_X(n)| \leq \log_2(n+1)$, then $X$ is sofic.

研究の動機と目的

• 長さ $ n $ の語に対してフォロワーセットの数が有界である部分系列は、モースとヘドランの古典的結果を拡張してソフィックであるかどうかを検討すること。
• 予想1.1（$ |F_X(n)| \leq n $ がソフィック性を示すと仮定）を、小さな $ n $ および特定の部分系列クラスについて検証すること。
• フォロワーセットとエクステンダーセットの関係を調査し、特に、有界なフォロワーセットが有界なエクステンダーセットを意味するかどうかを検討し、そのようなアプローチの限界を評価すること。
• フォロワーセットの成長率に基づくソフィック性の十分条件を確立すること、対数的境界を含む。

提案手法

• 与えられた部分系列 $ X $ を含むコーデッド部分系列 $ Y $ の構成を用いる。$ Y $ は $ X $ の語に新しい文字 $ c $ を追加することで構築され、$ F_Y(w) $ が最後の $ c $ 以降の接尾語にのみ依存するように保証される。
• 長さ $ n $ の語を、区別された文字 $ c $ の最後の出現位置に基づいて分割する。$ L_n(Y) $ を $ n+1 $ 個の集合 $ S_0, \dots, S_n $ に分割する。
• 還元の議論を用いる：$ |F_Y(n)| \leq n $ ならば、少なくともある $ S_k $ が、$ i < k $ であるある $ S_i $ と同じフォロワーセットを持つ。これは、長い語のフォロワーセットが短い語または $ c $ を含まない語のフォロワーセットに還元可能であることを示唆する。
• 補題4.3を用いて、最後の $ c $ までの記号をすべて削除してもフォロワーセットが変化しないことを示し、より短い代表元への還元を可能にする。
• 数学的帰納法と有限状態還元を適用する。$ c $ を含まない語および長さが $ k $ 未満の語のフォロワーセットはすべて有限であり、より長い語もこれらに還元可能であるため、$ Y $ の異なるフォロワーセットの総数は有限となり、結果として $ Y $ はソフィックである。
• 先行研究[4]におけるエクステンダーセットに関する既知の結果を活用し、有界なエクステンダーセットがソフィック性を示すが、逆は成り立たないことを示す。これにより、フォロワーセットのアプローチが必要かつ独立であることが明らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ |F_X(n)| \leq n $ が成り立つ $ n $ に対して、$ X $ がソフィックであると予想されるが、これは正しいか？
• RQ2 この予想は $ n = 1, 2, 3 $ のような小さな値について検証可能か？
• RQ3 $ |F_X(n)| $ に対数的成長の境界が存在し、それでもなおソフィック性が保証されるか？
• RQ4 この予想は広範なクラスのコーデッド部分系列について証明可能か？
• RQ5 エクステンダーセットとフォロワーセットは、ソフィック性を決定づける上でどの程度関連しているか？

主な発見

• 予想である $ |F_X(n)| \leq n $ がソフィック性を示すという主張は、$ n = 1, 2, 3 $ について、定理4.5、4.9、4.10で証明された。
• ある $ n \geq 1 $ に対して $ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $ が成り立つならば、$ X $ はソフィックである。これは定理4.7で確立された。
• $ S $-ギャップ・シフトやリバースコンテキストフリーシフトを含む広範なコーデッド部分系列のクラスについて、この予想は成り立つ。定理4.12および注意4.13で示された。
• 論文は、$ X $ から新しい文字 $ c $ を追加して部分系列 $ Y $ を構成する。$ |F_Y(n)| \leq n $ ならば $ Y $ はソフィックであり、フォロワーセットの還元により $ X $ もソフィックであることが示された。
• エクステンダーセットが指数関数的に成長する一方で、フォロワーセットの成長は非常に遅い場合があることを示し、エクステンダーセットのアプローチだけではこの予想を解決できないことを示した。
• 証明は構造的還元に依拠している：長さ $ \geq k $ で同じフォロワーセットを持つ任意の語は、長さ $ \leq k-1 $ の語、または $ c $ を含まない語に還元可能であり、これらはすべて有限個のフォロワーセットを持つ。