[論文レビュー] SUBSPACES OF c0(N) AND LIPSCHITZ ISOMORPHISMS

Gilles Godefroy, N. J. Kalton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2000

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用数 54

ひとこと要約

この論文は、c₀(ℕ) の部分空間がリプシッツ同型写像のもとで保存されることを確立し、c₀(ℕ) にリプシッツ同型な任意のバナッハ空間が必然的に線形同型であることを証明する。この結果は、双対単位球面上で弱*位相とノルム位相が定量的に一致するノルムによる、c₀(ℕ) の部分空間の同型的特徴付けに依拠しており、小さなリプシッツ定数に対するバナッハ＝マザール距離の見積もりを含む。

ABSTRACT

We show that the class of subspaces of c0(N) is stable under Lipschitz isomorphisms. The main corollary is that any Banach space which is Lipschitz-isomorphic to c0(N) is linearly isomorphic to c0(N). The proof relies in part on an isomorphic characterization of subspaces of c0(N) as separable spaces having an equivalent norm such that the weak-star and norm topologies quantitatively agree on the dual unit sphere. Estimates on the Banach{Mazur distances are provided when the Lipschitz constants of the isomorphisms are small. The quite dierent non-separable theory is also investigated.

研究の動機と目的

• c₀(ℕ) の部分空間がリプシッツ同型写像のもとで安定するかを調査すること。
• c₀(ℕ) にリプシッツ同型なバナッハ空間が、必然的に線形同型であるかどうかを特定すること。
• 双対単位球面上での弱*位相とノルム位相の一致具合を定量的に表すノルムの性質を用いて、c₀(ℕ) の部分空間を特徴付けること。
• 同型写像のリプシッツ定数が小さい場合のバナッハ＝マザール距離の見積もりを行うこと。
• 分離可能なバナッハ空間から非分離的空間への分析の拡張を行うこと。

提案手法

• 双対単位球面上で弱*位相とノルム位相が定量的に一致する等価ノルムを用いた、c₀(ℕ) の部分空間の同型的特徴付けを用いる。
• このノルム条件を応用して、c₀(ℕ) と他のバナッハ空間との間のリプシッツ同型写像が線形同型を意味することを示す。
• 同型写像のリプシッツ定数の小ささを用いて、バナッハ＝マザール距離の見積もりを導出する。
• 非線形関数解析およびノルムの再定義理論の技術を用いて、双対単位球面上の位相的挙動を制御する。
• 分離可能な結果を、バナッハ空間の構造的性質を用いて非分離的設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c₀(ℕ) の部分空間のクラスは、リプシッツ同型写像のもとでも不変のままであるか？
• RQ2 c₀(ℕ) にリプシッツ同型なバナッハ空間は、必然的に線形同型であると保証できるか？
• RQ3 双対単位球面上での弱*位相とノルム位相の一致具合を定量的に表すノルム条件は、c₀(ℕ) の部分空間をどのように特徴付けるか？
• RQ4 リプシッツ定数が小さい場合、c₀(ℕ) とそのリプシッツ同型像との間のバナッハ＝マザール距離はどのように振る舞うか？
• RQ5 この文脈において、分離可能から非分離的へと拡張される構造的性質は何か？

主な発見

• c₀(ℕ) の部分空間のクラスは、リプシッツ同型写像のもとで安定している。
• c₀(ℕ) にリプシッツ同型な任意のバナッハ空間は、必然的に線形同型である。
• c₀(ℕ) の部分空間は、双対単位球面上で弱*位相とノルム位相が定量的に一致する等価ノルムの存在によって特徴付けられる。
• リプシッツ定数が小さい場合、c₀(ℕ) とそのリプシッツ同型像との間のバナッハ＝マザール距離は、リプシッツ定数の関数によって有界である。
• 非分離的空間におけるこのような同型写像の理論が調査され、分離可能な場合とは構造的差異が明らかになった。