[論文レビュー] Substitution for Non-Wellfounded Syntax with Binders Through Monoidal Categories

Ralph Matthes, Kobe Wullaert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2023

Logic, programming, and type systems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、モノイダル圏と強関手を用いて、バインダーを伴う非正統な構文とそのモノイダル置換を構成する圏論的枠組みを提示する。非正統的および正統的両方の項を一様に取り扱うために、モノイダル不均一置換系を導入し、記号関手に対してω-連続性を証明し、UniMath/Coqにおける全構成を形式化した。

ABSTRACT

We describe a generic construction of non-wellfounded syntax involving variable binding and its monadic substitution operation. Our construction of the syntax and its substitution takes place in category theory, notably by using monoidal categories and strong functors between them. A language is specified by a multi-sorted binding signature, say Σ. First, we provide sufficient criteria for Σ to generate a language of possibly infinite terms, through ω-continuity. Second, we construct a monadic substitution operation for the language generated by Σ. A cornerstone in this construction is a mild generalization of the notion of heterogeneous substitution systems developed by Matthes and Uustalu; such a system encapsulates the necessary corecursion scheme for implementing substitution. The results are formalized in the Coq proof assistant, through the UniMath library of univalent mathematics.

研究の動機と目的

• モノイダル圏を用いて、バインダーを伴う非正統的構文の一般的で圏論的な構成を提供すること。
• このような構文に対して、核心的帰納的置換をサポートする不均一置換系の一般化を通じて、モノイダル置換操作を定義すること。
• 正統的および非正統的構文の取り扱いを、同一の圏論的枠組み内で統一すること。
• 全構成をUniMath/Coqで形式化し、同一基礎論の下での正しさを保証すること。
• 共帰的構文を用いて、単純型付きラムダ計算における無限探索空間を表現できること。

提案手法

• 言語を指定するための多重 sorted バインディング記号を用い、これらの記号から関手を生成する。
• 非正統的項の最終コアルゲブラの存在を保証するため、ω-連続性基準を適用する。
• コアリズム的置換をサポートするため、MatthesとUustaluの系の一般化として、モノイダル不均一置換系を導入する。
• テンソル的強さとアクテゴリーを用いて、モノイダル圏における置換のモデル化を行う。
• 最終コアルゲブラと強さを介してモノイダル置換操作を構成し、双模倣とα同値性を満たすことを保証する。
• ユニバーサル基礎論を用いて、すべての結果をUniMath/Coqで形式化し、集合の圏における具体的なインスタンスを与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、正統的構文も含む非正統的構文を、同一の圏論的枠組み内で一様に構成できるか？
• RQ2 記号関手の最終コアルゲブラとして非正統的項の存在を保証するための圏論的条件は何か？
• RQ3 このような非正統的項に対して、α同値性と双模倣を尊重するように、どのようにして核心的帰納的置換を定義できるか？
• RQ4 モノイダル不均一置換系を、正統的および非正統的両方の項を1つの枠組みで扱えるように一般化できるか？
• RQ5 このようなシステムを、Coqのような証明支援ツールを用いて、同一基礎論の下で形式的に検証できるか？

主な発見

• 論文は、関連する記号関手のω-連続性を満たす十分条件を、多重 sorted バインディング記号に対して確立した。
• 不均一置換系の一般化を通じて、コアリズム的置換を可能にする非正統的構文のモノイダル置換操作を構成した。
• この枠組みは、モノイダル圏と強関手を用いて、正統的および非正統的構文の取り扱いを同一の圏論的装置で統一した。
• すべての結果がUniMath/Coqで形式的に検証され、集合の圏における具体的なインスタンスが与えられ、同一基礎論におけるバインディングを伴う非正統的構文の形式的構成が得られた。
• このアプローチは、単純型付きラムダ計算における無限探索空間を共帰的項として表現でき、型付きの置換が保たれる。