[論文レビュー] Subtraction-free complexity, cluster transformations, and spanning trees

Sergey Fomin, D. Grigoriev+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 31, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、クラスタ変換を用いた減算なしアルゴリズムを導入し、シュール関数、そのスケイリング版、ダブル版、超対称版、および生成関数が多項式時間で計算可能であることを示す。また、減算なしの複雑さにおいて除算が指数的に強力であることを示し、特定の有理関数に関して、減算なしと通常の算術回路複雑さの間に指数的ギャップが生じることを示している。

ABSTRACT

Subtraction-free computational complexity is the version of arithmetic circuit complexity that allows only three operations: addition, multiplication, and division. We use cluster transformations to design efficient subtraction-free algorithms for computing Schur functions and their skew, double, and supersymmetric analogues, thereby generalizing earlier results by P. Koev. We develop such algorithms for computing generating functions of spanning trees, both directed and undirected. A comparison to the lower bound due to M. Jerrum and M. Snir shows that in subtraction-free computations, "division can be exponentially powerful." Finally, we give a simple example where the gap between ordinary and subtraction-free complexity is exponential.

研究の動機と目的

• 減算を除く加法、乗法、除法に制限した算術操作が計算複雑さに与える影響を調査すること。
• クラスタ変換を用いてシュール関数およびその一般化を効率的に計算する減算なしのアルゴリズムを開発すること。
• 有向および無向スパニングツリーの生成関数に対して、多項式時間の減算なしアルゴリズムを設計すること。
• 除算が減算が存在しない場合に指数的に強力であることを示し、減算なしと通常の回路複雑さの間に指数的ギャップが生じることを示すこと。
• 通常の複雑さが線形であるにもかかわらず、減算なし複雑さが指数的に増大する明示的な例を構築すること。

提案手法

• クラスタ代数理論の中心的役割を果たす有理写像であるクラスタ変換を、減算なしのアルゴリズム設計の根幹とする。
• スパニングツリーの生成関数の計算の複雑さを低減するためにスター・メッシュ変換を適用する。
• 非負の係数を持つ有理関数が非負係数多項式の比として表現可能であることを保証するために、ポリアの定理（正の多項式）を用いる。
• 分子および分母多項式の次数の上限を用いて、補題8.1を介して減算なし回路複雑さの下界を導出する。
• 例として、$ G_n(x) = (x-1)^2 + 2^{-2^{n+1}} $ のような有理関数を構築し、減算なし複雑さに対する指数的下界を示す。
• ラザールド＝モラ＝フィリップポンのテクニックを適用し、有限だが超指数的である減算なし複雑さを持つ同次多項式 $ H_n $ を構築するが、通常の複雑さは線形のまま保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラスタ変換を用いて、減算なしモデルにおいてシュール関数およびその一般化を効率的に計算できるか？
• RQ2 減算なし算術回路において、スパニングツリーの生成関数の計算複雑さはいかほどか？
• RQ3 減算が欠落している場合、除算のパワーはどのように変化するか？
• RQ4 有理関数に関して、通常の複雑さと減算なし複雑さの間に指数的ギャップが生じるか？
• RQ5 通常の複雑さが線形であるにもかかわらず、減算なし複雑さが指数的に増大する明示的な有理関数は存在するか？

主な発見

• 本稿では、クラスタ変換を用いてシュール関数、スケイリングシュール関数、ダブルシュール関数、超対称シュール関数を減算なしの多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。
• 有向および無向スパニングツリーの生成関数のための減算なしアルゴリズムを開発し、多項式複雑さを達成する。
• 一変数多項式 $ G_n(x) = (x-1)^2 + 2^{-2^{n+1}} $ の減算なし複雑さは $ 2^n $ を超えるが、通常の複雑さは任意の定数を許すと $ O(1) $、1のみを入力とすると $ O(n) $ である。
• 同次多項式 $ H_n(t,x_1,\dots,x_n) $ に対して、減算なし複雑さは $ 2^{n-2} $ を超えるが、通常の複雑さは $ n $ に対して線形である。
• 減算が存在しない場合、除算が指数的に強力であることが確認された。これは、減算なしと半体（加法／乗法のみ）の複雑さの間に指数的ギャップがあることから示される。
• 結果はトロピカル半体へも拡張され、減算が許可されると、最小コストのアーボレスセンス問題の複雑さが指数的から多項式に低下することが示唆される。