[論文レビュー] Subtrees and independent subsets in unicyclic graphs and unicyclic graphs with fixed segment sequence

Eric Ould Dadah Andriantiana, Hua Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された周長やセグメント列を満たす条件下で、部分木の数や独立頂点部分集合の数（Merrifield-Simmons指数）を最大化する極値の単一サイクルグラフを調査する。部分木数を最大化する構造はウィーナー指数を最小化しないし、独立頂点部分集合数を最大化する構造はマッチング数を最小化しないことが示され、固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、これらのトポロジカル指標の間のよく知られた負の相関関係が成り立たない最初の既知の反例を提供する。

ABSTRACT

In the study of topological indices two negative correlations are well known: that between the number of subtrees and the Wiener index (sum of distances), and that between the Merrifield-Simmons index (number of independent vertex subsets) and the Hosoya index (number of independent edge subsets). That is, among a certain class of graphs, the extremal graphs that maximize one index usually minimize the other, and vice versa. In this paper, we first study the numbers of subtrees in unicyclic graphs and unicyclic graphs with a given girth, further confirming its opposite behavior to the Wiener index by comparing with known results. We then consider the unicyclic graphs with a given segment sequence and characterize the extremal structure with the maximum number of subtrees. Furthermore, we show that these graphs are not extremal with respect to the Wiener index. We also identify the extremal structures that maximize the number of independent vertex subsets among unicyclic graphs with a given segment sequence, and show that they are not extremal with respect to the number of independent edge subsets. These results may be the first examples where the above negative correlation failed in the extremal structures between these two pairs of indices.

研究の動機と目的

• すべてのn頂点の単一サイクルグラフの中で、部分木の数を最大化または最小化する単一サイクルグラフを同定すること。
• 固定された周長を持つ単一サイクルグラフにおいて、部分木の数とウィーナー指数の関係を調査すること。
• 与えられたセグメント列を持つ極値の単一サイクルグラフを同定し、部分木の数と独立頂点部分集合の数を最大化すること。
• 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、代表的なトポロジカル指標（例：部分木数 vs. ウィーナー指数、Merrifield-Simmons指数 vs. Hosoya指数）の間のよく知られた負の相関関係が成立するかを検討すること。
• 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、独立頂点部分集合数を最大化する極値構造が、マッチング数（Hosoya指数）に対しても極値を達成するかを同定すること。

提案手法

• サイクル長が$l$で、$n-l$個の懸垂頂点または懸垂パスを持つ単一サイクルグラフ$US_n^l$および$UP_n^l$を定義し、これらを極値グラフとする。
• 頂点の次数が2でない頂点の間のパス長の順序付きリスト（セグメント列）を用いて単一サイクルグラフを分類し、極値構造を分析する。
• 互いに素なパスにおける独立集合に関する組合せ的補題を適用し、特にMerrifield-Simmons指数に用いるフィボナッチに基づく恒等式を用いる。
• 反復的変換を用いて極値性を証明する：懸垂パスを1つの頂点に集約することで、独立集合や部分木の数を増加させる。
• 再帰的分解を用いて比較する：$\sigma(G) = \sigma(G - v) + \sigma(G - [v])$、ここで$v$は頂点である。
• セグメント長およびセグメント数に関する帰納法とケース解析を用いて、$\sigma(G)$および$n(G)$に関する不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのn頂点の単一サイクルグラフの中で、部分木の数を最大化する単一サイクルグラフはどれか？
• RQ2 固定された周長を持つ単一サイクルグラフの中で、部分木数を最大化する極値グラフは、同時にウィーナー指数を最小化するか？
• RQ3 与えられたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、部分木数を最大化する構造はどれか？
• RQ4 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、Merrifield-Simmons指数とHosoya指数の間の負の相関関係は保持されるか？
• RQ5 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、独立頂点部分集合数を最大化する極値グラフは、マッチング数（Hosoya指数）に対しても極値を達成するか？

主な発見

• サイクル長$l$のサイクルの1つの頂点に$n-l$個の懸垂頂点を接続して得られる単一サイクルグラフ$US_n^l$は、周長$l$を持つすべてのn頂点の単一サイクルグラフの中で部分木数を最大化する。
• サイクル長$l$のサイクルの1つの頂点に長さ$n-l$のパスを接続して得られる単一サイクルグラフ$UP_n^l$は、周長$l$を持つすべてのn頂点の単一サイクルグラフの中で部分木数を最小化する。
• セグメント列$(l_1, \dots, l_m)$（$l_1 \geq 3$）を持つ単一サイクルグラフにおいて、サイクルが長さ$l_1$のセグメントであり、他のすべてのセグメントがスターリクな木を形成するグラフ$U_1(l_1, \dots, l_m)$が、部分木数を最大化する。
• 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフの中で、部分木数を最大化する極値グラフは、ウィーナー指数を最小化しない。これは、一般的な負の相関関係に反する。
• 固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフの中で、Merrifield-Simmons指数（独立頂点部分集合数）を最大化する極値グラフは$U_2(l_1, \dots, l_m)$であり、ここでサイクル上に2つの頂点が最も長いセグメントを有する。
• Merrifield-Simmons指数を最大化する極値グラフは、マッチング数（Hosoya指数）を最小化しない。これは、固定されたセグメント列を持つ単一サイクルグラフにおいて、これらの2つの指標の間の負の相関関係が成り立たない最初の既知の反例を提供する。