[論文レビュー] Subvarieties in non-compact hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなヒルベルト・ケーラー多様体に対して、すべてのコンパクトな複素部分多様体が、すべての一般な誘導された複素構造 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ に対して三複素解析的（すべての誘導された複素構造に関して複素解析的）であることを確立している。ただし、可算な例外集合を除く。この結果は、ホッジ理論におけるコンパクトケースの定理を、三シンプレクティック面積関数およびその臨界値を用いて非コンパクト設定に拡張したものであり、この関数の定数性が三複素解析性を示すことを証明している。

ABSTRACT

Let M be a hyperkaehler manifold, not necessarily compact, and $S\cong CP^1$ the set of complex structures induced by the quaternionic action. Trianalytic subvariety of M is a subvariety which is complex analytic with respect to all $I \in CP^1$. We show that for all $I \in S$ outside of a countable set, all compact complex subvarieties $Z \subset (M,I)$ are trianalytic. For M compact, this result was proven in alg-geom/9403006 using Hodge theory.

研究の動機と目的

• コンパクトなヒルベルト・ケーラー多様体におけるコンパクトな複素部分多様体が三複素解析的であるという既知の結果を、非コンパクトな場合に拡張すること。
• ホッジ理論が混合ホッジ構造のため適用不可能な非コンパクトなヒルベルト・ケーラー多様体における、コンパクトな複素部分多様体の挙動を理解すること。
• すべてのコンパクトな部分多様体が三複素解析的であるような一般な誘導された複素構造 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ を特定すること。
• 三シンプレクティック面積関数 $ V_Z(L) $ を用いた三複素解析性の基準を確立すること。すなわち、$ Z $ が三複素解析的であることと、$ V_Z $ が $ \mathbb{C}P^1 $ 上で定数であることとは同値であることを示すこと。

提案手法

• 各 $ L = aI + bJ + cK \in \mathbb{C}P^1 $ に対して、三シンプレクティック面積関数 $ V_Z(L) = \frac{1}{n!2^n} \int_Z (a\omega_I + b\omega_J + c\omega_K)^n $ を定義する。この関数は、各複素構造に関するシンプレクティック面積を測定する。
• Wirtingerの不等式を用いて、$ V_Z(L) \leq \text{Area}_g(Z) $ を示し、等号が成り立つのは $ Z $ が $ (M,L) $ に関して複素解析的である場合に限ることを示す。
• $ V_Z $ が $ \mathbb{C}P^1 \cong S^2 $ 上の多項式であることを証明する。これにより、各ホモロジー類に対して臨界点（最大値）は有限個であることが導かれる。
• 各ホモロジー類 $ [Z] $ に対して、$ V_{[Z]} $ が $ I \in \mathbb{C}P^1 $ で最大値をとらないような複素構造 $ I $ を一般な複素構造と定義する。このとき、非一般な $ I $ の集合は可算であることを示す。
• Wirtingerの不等式の等号の場合を応用し、$ V_Z $ が $ \mathbb{C}P^1 $ 全体で定数であることと、三複素解析性が同値であるという基準を確立する。
• この基準を適用して、一般な $ I $ に対して、$ (M,I) $ のすべてのコンパクトな複素部分多様体が三複素解析的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなヒルベルト・ケーラー多様体の誘導された複素構造 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ において、すべてのコンパクトな複素部分多様体が三複素解析的となるのはどのような場合か？
• RQ2 特に非コンパクトな設定において、ホッジ理論に依存せずに部分多様体の三複素解析性を特徴づけることは可能か？
• RQ3 三シンプレクティック面積関数 $ V_Z(L) $ は、三複素解析的多様体を検出する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ V_Z $ が最大値をとる非一般な複素構造の集合は、非三複素解析的多様体の存在とどのように関係しているか？

主な発見

• 任意の非コンパクトなヒルベルト・ケーラー多様体 $ M $ に対して、可算集合 $ S_0 \subset \mathbb{C}P^1 $ が存在し、すべての $ I \notin S_0 $ に対して $ (M,I) $ のすべてのコンパクトな複素部分多様体が三複素解析的である。
• 三シンプレクティック面積関数 $ V_Z(L) $ が定数であることと、部分多様体 $ Z \subset M $ が三複素解析的であることは同値である。
• $ V_Z $ は $ \mathbb{C}P^1 $ 上の多項式であり、各ホモロジー類に対してその臨界点（最大値）は有限個であるため、非一般な複素構造は可算個に限られる。
• 複素構造 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ が一般であるとは、任意の非定数関数 $ V_{[Z]} $ に対して $ I $ で最大値をとらないことと定義され、非一般な $ I $ の集合は可算である。
• 一般な $ I $ に対して、$ (M,I) $ には正の次元のコンパクトな部分多様体が存在せず、したがって三複素解析的多様体しか含まない限り非代数的である。
• 本結果は、[V1]におけるコンパクトケースの結果を非コンパクト多様体に一般化したものであり、ホッジ理論を回避する形で、三シンプレクティック面積関数と $ \mathbb{C}P^1 $ 上の多項式的挙動を用いることで達成されている。