[論文レビュー] Successive Quadratic Upper-Bounding for Discrete Mean-Risk Minimization and Network Interdiction

Alper Atamtürk, Carlos Deck+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Infrastructure Resilience and Vulnerability Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、鋭形二次型の目的関数を伴う離散的平均リスク最小化問題に対して、逐次的二次上界近似法を提案する。問題を再定式化することで、二次計画法による高速なウォームスタートが可能となる。確率的ネットワーク遮断問題に適用したところ、正確な分枝限定法に比べて100倍以上高速に、最適解から1–2%以内の解を得た。

ABSTRACT

The advances in conic optimization have led to its increased utilization for modeling data uncertainty. In particular, conic mean-risk optimization gained prominence in probabilistic and robust optimization. Whereas the corresponding conic models are solved efficiently over convex sets, their discrete counterparts are intractable. In this paper, we give a highly effective successive quadratic upper-bounding procedure for discrete mean-risk minimization problems. The procedure is based on a reformulation of the mean-risk problem through the perspective of its convex quadratic term. Computational experiments conducted on the network interdiction problem with stochastic capacities show that the proposed approach yields solutions within 1-2% of optimality in a small fraction of the time required by exact search algorithms. We demonstrate the value of the proposed approach for constructing efficient frontiers of flow-at-risk vs. interdiction cost for varying confidence levels.

研究の動機と目的

• 鋭形二次型の目的関数を伴う離散的平均リスク最小化問題の計算的非実行可能性に対処すること。
• 直接高価な鋭形計画法の部分問題を解く必要のない、高速でウォームスタートに適したヒューリスティックを開発すること。
• 不確実な容量を伴う確率的ネットワーク遮断問題における有効性を示すこと。
• 信頼水準ごとに、フロー・アット・リスクと遮断コストのトレードオフフロンティアを効率的に構築すること。
• 0-1混合整数計画問題に一般化可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 二次項のパースペクティブ緩和を活用して、鋭形二次型の平均リスク問題を再定式化する。
• リスクパラメータの二分探索に再定式化問題を埋め込み、逐次的に上界を厳しくする。
• 各二分探索ステップで、連続する離散的二次計画法の部分問題を解き、高速なウォームスタートを可能にする。
• 単体法に基づくアルゴリズムを二次および線形部分問題に適用し、特にスパニングツリーまたはマトロイドなどの構造的制約に対して効果的である。
• アーク容量が確率的であるネットワーク遮断問題にこの手法を適用し、VaRとロバストバウンドを用いてリスクをモデル化する。
• 二次項の下位性を活用して、逐次近似プロセスにおけるタイトな上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次的二次上界近似手順は、解の品質を損なわずに、離散的平均リスク問題の解法時間を著しく短縮できるか？
• RQ2 不確実な容量を伴う確率的ネットワーク遮断問題において、この手法は最適解をどれほど効果的に近似できるか？
• RQ3 二次計画法におけるウォームスタート機能は、直接的な鋭形計画法に比べて、性能向上にどの程度寄与するか？
• RQ4 正確なアルゴリズムで解けるサイズを超える大規模ネットワークインスタンスにおいて、この手法はどの程度スケーリング可能か？
• RQ5 このアプローチは、鋭形二次型の目的関数を伴う他の0-1混合整数計画問題へ一般化可能か？

主な発見

• 提案手法は、ネットワーク遮断インスタンスについて、最適解から1–2%以内の解を、正確な分枝限定法に比べて極めて短時間で得た。
• 20×20グリッドネットワークでは、凸緩和からの平均ギャップが2.8%であり、平均解法時間は1.36秒であった。
• より大きな100×100ネットワークでは、平均10.2イテレーションで収束し、凸緩和に対する平均整数ギャップは31.08%であった。
• CPLEXにカットを適用した場合に比べ、最大100倍の高速化を達成した。特に相関のあるインスタンスでは、CPLEXが100×100グリッドで3,000秒以上を要したのに対し、本手法は著しく優れていた。
• 本手法により、複数の信頼水準にわたる効率的なフロー・アット・リスク対コストのトレードオフフロンティアの構築が可能となり、リスク回避意思決定における実用的価値を示した。
• 本手法は、相関のないおよび相関のある確率的容量を含むさまざまな問題構造に対して頑健であり、大規模インスタンスに対しても効果的にスケーリング可能であった。