[論文レビュー] Succinct Planar Encoding with Minor Operations

Frank von der Kammer, Johannes Meintrup|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Algorithms and Data Compression被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、O(n)時間で辺の縮約と頂点の削除をサポートする、非ラベル付き平面グラフの簡潔なデータ構造を提示する。また、定数時間の近傍および次数クエリを実現する。H(n) + o(n)ビットの空間使用量を達成しており、これは情報理論的下界H(n)に下位の項を除いて最適である。HolmらとBlelloch & Farzanの技術を組み合わせることで実現され、O(n)ビットの空間で線形時間の外部平面性テストが可能になる。

ABSTRACT

Let $G$ be an unlabeled planar and simple $n$-vertex graph. Unlabeled graphs are graphs where the label-information is either not given or lost during the construction of data-structures. We present a succinct encoding of $G$ that provides induced-minor operations, i.e., edge contractions and vertex deletions. Any sequence of such operations is processed in $O(n)$ time in the word-RAM model. At all times the encoding provides constant time (per element output) neighborhood access and degree queries. Optional hash tables extend the encoding with constant expected time adjacency queries and edge-deletion (thus, all minor operations are supported) such that any number of edge deletions are computed in $O(n)$ expected time. Constructing the encoding requires $O(n)$ bits and $O(n)$ time. The encoding requires $\mathcal{H}(n) + o(n)$ bits of space with $\mathcal{H}(n)$ being the entropy of encoding a planar graph with $n$ vertices. Our data structure is based on the recent result of Holm et al. [ESA 2017] who presented a linear time contraction data structure that allows to maintain parallel edges and works for labeled graphs, but uses $Θ(n \log n)$ bits of space. We combine the techniques used by Holm et al. with novel ideas and the succinct encoding of Blelloch and Farzan [CPM 2010] for arbitrary separable graphs. Our result partially answers the question raised by Blelloch and Farzan whether their encoding can be modified to allow modifications of the graph. As a simple application of our encoding, we present a linear time outerplanarity testing algorithm that uses $O(n)$ bits of space.

研究の動機と目的

• 非ラベル付き平面グラフの簡潔なデータ構造を設計し、効率的に誘導マイナー操作をサポートすること。
• 平面グラフの情報理論的下界H(n)にo(n)ビット以内の空間使用量を達成すること。
• 辺の縮約と頂点の削除をO(n)時間で処理し、定数時間の近傍および次数クエリをサポートすること。
• オプションのハッシュテーブルを用いて、期待O(1)時間で隣接クエリと辺の削除をサポートするように構造を拡張すること。
• この符号化を用いて、O(n)時間およびO(n)ビットの空間で外部平面性テスト問題を解くこと。

提案手法

• r-分割と分離集合に基づく階層的分解を用い、グラフをより小さなコンポーネントに再帰的に分割する。
• Holmらの縮約下でのグラフ操作の維持技術と、BlellochとFarzanによる分離可能グラフの簡潔な符号化技術を統合する。
• 最低レベルに配置された照合テーブルは、r = log⁴n個以下の頂点をもつすべての小さな平面グラフ（辺の色付き）を格納し、縮約ルールのための辺色付き拡張を可能にする。
• グローバルおよびローカルのキュー（選択辞書を介して）を維持し、縮約ステップで次数1または2の頂点を効率的に特定する。
• 辺の縮約は近傍のマージと階層構造の更新により実装され、事前に計算されたマッピングにより定数時間のアクセスが可能になる。
• オプションのハッシュテーブルを用いて、期待O(1)時間での隣接クエリと辺の削除をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面グラフの簡潔な符号化を、辺の縮約や頂点の削除といった動的操作をサポートするように拡張可能か？
• RQ2 このような操作下でも、定数時間の近傍および次数クエリを維持しつつ、近似的に最適な空間使用量を達成できるか？
• RQ3 H(n) + o(n)ビットの空間使用量を維持しながら、すべての誘導マイナー操作をサポートできるか？
• RQ4 このようなデータ構造を用いて、線形時間かつ空間効率の良い外部平面性テストアルゴリズムを実装できるか？
• RQ5 この符号化を、期待定数時間性能で辺の削除をサポートするように拡張できるか？

主な発見

• 提案されたデータ構造は、H(n) + o(n)ビットの空間を使用し、平面グラフにおいて近似的に最適な簡潔性を達成する。
• すべての誘導マイナー操作（辺の縮約と頂点の削除）が合計O(n)時間で処理可能である。
• 近傍および次数クエリは、常にO(1)時間で1要素出力ごとにサポートされる。
• オプションのハッシュテーブルを用いることで、隣接クエリと辺の削除が期待O(1)時間でサポートされる。
• Wiegersの縮約ルールを適用することにより、O(n)時間およびO(n)ビットの空間で外部平面性テストアルゴリズムが実現可能になる。
• 照合テーブルに格納された辺色付きミニグラフに起因する空間オーバーヘッドはO(n)ビットであり、全体のO(n)空間制約に対して無視できる。