[論文レビュー] Sufficient and Necessary Conditions for the fractional Gagliardo-Nirenberg Inequalities and applications to Navier-Stokes and generalized boson equations

Hichem Hajaiej, Luc Molinet+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、調和解析およびdyadic分解を用いて、同次Besov空間およびTriebel-Lizorkin空間における分数階Gagliardo-Nirenberg不等式の必要十分条件を確立する。主な貢献は、埋め込みパラメータの完全な特徴付けであり、これは、Navier-Stokes解の爆発時における臨界$L^3(\mathbb{R}^3)$空間における集中現象の証明および、$s$、$G$、$V$に関する適切な条件下で一般化ボソン方程式の変分問題に対する径数的・単調減少最小化子の存在を確立するために応用される。

ABSTRACT

Sufficient and necessary conditions for the generalized Gagliardo-Nirenberg (GN) inequality in Besov spaces and Triebel-Lizorkin spaces are obtained. Applying the GN inequality, we show that the finite-time blowup solutions have concentration phenomena in critical Lebesgue space L^3. Moreover, we consider the minimizer for a class of variational problem by applying the fractional GN inequality.

研究の動機と目的

• 同次Besov空間およびTriebel-Lizorkin空間における分数階Gagliardo-Nirenberg不等式の成立に関する必要十分条件を導出すること。
• 不等式の成立に与る第三の指数$q$の役割、特にスケーリングおよび埋め込み構造との関係を明確化すること。
• 不等式をNavier-Stokes系に応用し、臨界$L^3(\mathbb{R}^3)$空間における有限時刻爆発における解の集中を分析すること。
• 一般化ボソン方程式系の変分最小化問題を解き、$s$、$G$、$V$に関する特定の仮定の下で径数的・単調減少最小化子の存在を証明すること。

提案手法

• 周波数射影子$\triangle_k$および滑らかなカットオフ関数$\rho_k$によるdyadic分解を用い、同次空間$\tilde{B}^{s}_{p,q}$および$\tilde{F}^{s}_{p,q}$におけるノルムのスケーリングおよび同次性を分析する。
• スケーリング解析および同次性の議論により必要条件を導出し、同次関数空間の文脈における補間理論およびアトミック分解技術を用いて十分性を証明する。
• Navier-Stokes系に不等式を応用する際、$L^3(\mathbb{R}^3)$における爆発プロファイルを分析し、背理法および最大時刻拡張の議論により集中を示す。
• 径数的還元および弱下半連続性を用いた変分法およびコンパクト性の議論により、制約$\norm{u_i}_2^2 = c_i$の下でエネルギー汎関数$E(u)$の最小化子の存在を証明する。
• 一般化ボソン問題における非自明な最小化子の存在に必要な条件$C^*c < 1/2$を、背理法およびエネルギー推定を用いて確立する。
• 熱伝搬作用素$H(t) = e^{t\triangle}$および作用素$\nabla \tilde{\rm A}$の既知の推定を活用し、Navier-Stokesの固定点議論における非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階Gagliardo-Nirenberg不等式$\norm{u}_{\tilde{B}^s_{p,q}} \triangleq \norm{u}_{\tilde{B}^{s_0}_{p_0,q_0}}^{1-\theta} \norm{u}_{\tilde{B}^{s_1}_{p_1,q_1}}^{\theta}$が同次Besov空間で成立するためのパラメータ$p, p_0, p_1, q, q_0, q_1, s, s_0, s_1, \theta$に関する必要十分条件は何か？
• RQ2 第三の指数$q, q_0, q_1$は、特に$s = (1-\theta)s_0 + \theta s_1$の場合に不等式の成立にどのように影響するか？
• RQ3 有限時刻爆発におけるNavier-Stokes方程式の解は、臨界$L^3(\mathbb{R}^3)$空間で集中を示すか？
• RQ4 エネルギー汎関数$E(u) = \frac{1}{2}\norm{u}_{\tilde{H}^s}^2 - \norm{G(u)V*G(u)}_{L^1}$が$L^2$ノルム制約の下で、径数的・単調減少最小化子をもつ条件は何か？

主な発見

• 不等式$\norm{u}_{\tilde{B}^s_{p,q}} \triangleq \norm{u}_{\tilde{B}^{s_0}_{p_0,q_0}}^{1-\theta} \norm{u}_{\tilde{B}^{s_1}_{p_1,q_1}}^{\theta}$が成り立つのは、$\frac{n}{p} - s = (1-\theta)\big(\frac{n}{p_0} - s_0\big) + \theta\big(\frac{n}{p_1} - s_1\big)$、$s \neq s_0$または$s \neq s_1$、および$s \triangleq (1-\theta)s_0 + \theta s_1$のとき、$p_0 \neq p_1$ならば$\frac{1}{q} \triangleq \frac{1-\theta}{q_0} + \frac{\theta}{q_1}$、$p_0 = p_1$ならば同様に$\frac{1}{q} \triangleq \frac{1-\theta}{q_0} + \frac{\theta}{q_1}$が成り立つときである。
• ${\mathbb{R}}^3$におけるNavier-Stokes方程式の解は、有限爆発時刻$T_m$において臨界空間$L^3(\mathbb{R}^3)$で集中を示す。これは最大時刻拡張の議論における背理法により示された。
• $\norm{u_i}_2^2 = c_i > 0$の制約の下でエネルギー$E(u)$の最小化問題は、$C^*c < 1/2$の条件下で$(H^s)^L$において径数的・単調減少最小化子をもつ。ここで$C^*$は$G$および$V$に依存する定数である。
• $C^*c < 1/2$の条件は非自明な最小化子の存在に必要である。$C^*c \triangleq 1/2$のとき、下界エネルギーはゼロとなり、エネルギー汎関数の正定値性に矛盾する。
• 定理1.2における分数階Gagliardo-Nirenberg不等式は、文献に既知の整数および分数階バージョンをすべて一般化する。特に[5, 9, 10, 16, 17, 18, 23, 26, 30, 31, 40, 44, 52, 54, 57]に含まれるバージョンを含む。
• この不等式は、Besov空間の特徴付けの系として、分数階Sobolev空間$\tilde{H}^s_p$における対応する結果を含む。