[論文レビュー] Sufficient conditions for a pseudosymmetric spacetime to be a perfect fluid spacetime

Peibiao Zhao, Uday Chand De+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 26被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における擬対称時空が完全流体時空であるための十分条件を確立する。すべての擬対称一般化ロバートソン＝ウォーカー（GRW）時空が完全流体時空であることを証明し、共形平坦な擬対称時空がGRW時空であることも示す。主な結果は、曲率条件とエネルギー運動量テンソルの構造を用いたこのような時空の特徴付けであり、放射時代の力学および真空中のダスト解を含む宇宙論的流体モデルへの応用がある。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to obtain the condition under which a pseudosymmetric spacetime to be a perfect fluid spacetime. It is proven that a pseudosymmetric generalized Robertson-Walker spacetime is a perfect fluid spacetime. Moreover, we establish that a conformally flat pseudosymmetric spacetime is a generalized Robertson-Walker spacetime. Next, it is shown that a pseudosymmetric dust fluid with constant scalar curvature satisfying Einstein's field equations without cosmological constant is vacuum. Finally, we construct a non-trivial example of pseudosymmetric spacetime.

研究の動機と目的

• 擬対称時空が完全流体時空となるための十分条件を特定すること。
• 一定スカラー曲率をもつ時空における擬対称性の幾何学的・物理的意味を調査すること。
• 擬対称時空と一般化ロバートソン＝ウォーカー（GRW）時空の広いクラスとの間の関係を確立すること。
• アインシュタインの場の方程式下で、粘性流体およびダスト流体が擬対称時空に与える影響を分析すること。
• 回転のない関連ベクトル場をもつ非自明な擬対称時空の例を構成すること。

提案手法

• チャキの定義に従い、リーマン曲率テンソルが $ R_{hijk,l} = 2v_l R_{hijk} + v_h R_{lijk} + v_i R_{hljk} + v_j R_{hilk} + v_k R_{hijl} $ を満たす擬対称性を用いる。ここで $ v_l $ は非ゼロの共変ベクトルである。
• 定理Bを適用し、時空的共円ベクトル場 $ v_{i;j} = \phi(g_{ij} + v_i v_j) $ を満たす時空的ベクトル場を用いてGRW時空を特徴付ける。
• リッチの恒等式とテンソルの縮約を用い、曲率、リッチテンソル、およびベクトル場 $ v_i $ 間の関係を導出する。特に、$ v_i $ がリッチテンソルの固有ベクトルであるという仮定を用いる。
• 完全流体のエネルギー運動量テンソル $ T_{ij} = (\sigma + p)v_i v_j + p g_{ij} $ およびダストの $ T_{ij} = \sigma v_i v_j $ を用い、アインシュタイン場の方程式 $ R_{ij} - \frac{R}{2}g_{ij} = \kappa T_{ij} $ を適用する。
• 擬対称GRW時空に対して、状態方程式 $ \frac{p}{\sigma} = \frac{1}{n-1} - \frac{(n-2)(n\alpha - \beta)}{2\alpha(n-1)^2} $ を導出し、$ n=4 $ かつ $ 2\phi = 1 - 15f $ のとき $ 3p = \sigma $ が得られ、これは放射時代に対応することを示す。
• 非ゼロのクリストッフェル記号および曲率成分をもつ $ \mathbb{R}^4 $ 上の4次元ローレンツ計量を構成し、特定の $ v_i $ の選び方で、定義されたテンソル方程式を満たすことで擬対称性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で擬対称時空が完全流体時空となるか？
• RQ2 すべての共形平坦な擬対称時空は、必然的に一般化ロバートソン＝ウォーカー時空であるか？
• RQ3 アインシュタイン場の方程式を満たす擬対称GRW時空の状態方程式は何か？
• RQ4 ダスト流体で満たされた擬対称時空が非真空であってもよいのか。その意味は何か？
• RQ5 一定スカラー曲率をもつ擬対称時空に粘性流体が存在する場合、非自明な状態方程式が存在するか？

主な発見

• すべての擬対称一般化ロバートソン＝ウォーカー（GRW）時空は完全流体時空であり、リッチテンソルは $ R_{ij} = \alpha g_{ij} + \beta v_i v_j $ を満たす。ここで $ \alpha $ および $ \beta $ は滑らかな関数である。
• 次元 $ n \geq 4 $ の共形平坦な擬対称時空は、すべて一般化ロバートソン＝ウォーカー時空である。リッチテンソルが $ R_{ij} = \alpha g_{ij} + \beta \lambda_i \lambda_j $ の形を取り、$ \lambda_i $ が単位時空的ベクトルであることで示される。
• アインシュタイン場の方程式を満たし、宇宙定数を含まない擬対称GRW時空に対して、状態方程式は $ \frac{p}{\sigma} = \frac{1}{n-1} - \frac{(n-2)(n\alpha - \beta)}{2\alpha(n-1)^2} $ である。$ n=4 $ かつ $ 2\phi = 1 - 15f $ のとき、$ 3p = \sigma $ となり、これは放射時代に対応する。
• 一定スカラー曲率をもつ擬対称時空にダスト流体（圧力ゼロ）が満たされている場合、エネルギー密度 $ \sigma $ が場の方程式下で消えるため、真空でなければならない。
• 一定スカラー曲率をもつ擬対称時空に粘性流体が存在する場合、可逆的（等エントロピー）であり、状態方程式は $ p = \frac{4-n}{2(n-1)}\sigma $ である。$ n=4 $ のとき、$ p=0 $ となり、ダストと整合的である。
• 非自明な擬対称時空の例として、$ \mathbb{R}^4 $ 上の計量 $ ds^2 = (dx^1)^2 + (x^1)^2(dx^2)^2 + (x^2)^2(dx^3)^2 - (dx^4)^2 $ を用い、特定の回転のない共変ベクトル $ v_i $ に対して曲率テンソルがチャキの擬対称性条件を満たすことを確認した。