[論文レビュー] Sufficient conditions for $C^{1,\alpha}$ parametrization and rectifiability

Silvia Ghinassi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Bishop-Jones型の平方関数を用いて、R^n 内のRadon測度が C^1,α d-可縮であるための定量的十分条件を確立し、C^1,α 定数に対する明示的な制御を実現した。主な結果は、β-数の平方関数が有限であれば、その集合は C^1,α パラメータ化を許容することを示しており、DavidとToroのReifenbergパラメータ化理論を Hölder 1回微分可能な設定に拡張し、平方関数ノルムに対する鋭い定量的依存関係を示している。

ABSTRACT

We say a measure is $C^{1,\alpha}$ $d$-rectifiable if there is a countable union of $C^{1,\alpha}$ $d$-surfaces whose complement has measure zero. We provide sufficient conditions for a Radon measure in $\mathbb{R}^n$ to be $C^{1,\alpha}$ $d$-rectifiable, with $\alpha \in (0,1]$. The conditions involve a Bishop-Jones type square function and all statements are quantitative in that the $C^{1,\alpha}$ constants depend on such a function. Along the way we also give sufficient conditions for $C^{1,\alpha}$ parametrizations for Reifenberg flat sets in terms of the same square function. Key tools for the proof come from David and Toro's Reifenberg parametrizations of sets with holes in the H\"{o}lder and Lipschitz categories.

研究の動機と目的

• R^n 内のRadon測度が C^1,α d-可縮であるための定量的十分条件を提供すること。
• DavidとToroのReifenbergパラメータ化結果を、β-数の平方関数に明示的な依存関係を持つ C^1,α 時代に拡張すること。
• β-数の平方summability が一方向Reifenberg平坦集合に対して C^1,α パラメータ化を保証することを確立すること。
• C^1,α 正則性定数を β-数の平方関数の観点から定量的に特定すること。
• C^1,α 可縮性が α' > α のときの C^1,α' 可縮性よりも厳密に強いことを、明示的な反例によって示すこと。

提案手法

• すべてのスケールにおける集合の平坦さを定量化するため、L^p β-数を含む Bishop-Jones型の平方関数の使用。
• 局所的な C^1,α グラフの繰り返し接合による、DavidとToroのReifenbergパラメータ化フレームワークを C^1,α に適応すること。
• dyadic Haar型ウェーブレットと分区画の単位を用いて構築された Hölder 継続関数の積分による C^1,α 関数の構成。
• β-数の減衰率と dyadic 周波数分解を用いた、構築されたパラメータ化の Hölder およびリプシッツノルムの推定。
• 周波数分解（高、中、低）を用いた導関数の Hölder 正則性の分析により、平方関数が発散する場合に高次の Hölder 正則性が失敗することを示すこと。
• 修正された分区画の単位と近似作用素 (Et) を用いた Hölder 関数の表現と、L^∞ およびリプシッツノルムにおける近似誤差の制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β-数にどのような定量的条件が満たされると、一方向Reifenberg平坦集合が C^1,α パラメータ化可能になるか？
• RQ2 C^1,α 正則性定数は β-数の平方関数にどのように依存するか？
• RQ3 β-数の平方summability は C^1,α 正則性のパラメータ化を保証できるか？ もしそうなら、どのような定量的制御が可能か？
• RQ4 C^1,α 可縮性は α' > α のときの C^1,α' 可縮性よりも厳密に強いのか？ そして、明示的な構成によってこれを示せるか？
• RQ5 一方向Reifenberg平坦性定義における適合条件が C^1,α パラメータ化を可能にする役割は何か？

主な発見

• β-数の平方関数が有限であれば、一方向Reifenberg平坦集合は C^1,α パラメータ化を許容し、C^1,α 定数は平方関数ノルムに定量的に依存する。
• C^1,α 正則性は鋭い：平方関数が発散する場合、パラメータ化は任意の ε > 0 に対して C^1,α+ε にはなり得ない。
• この論文は、導関数が C^α+ε でない明示的な C^1,α 関数を構成し、C^1,α 条件が α' > α のときの C^1,α' よりも厳密に強いことを示している。
• 導関数の Hölder 定数は ∑ α_j^2 2^{-2α'j} によって制御され、これは平方関数が有限である場合にかつその場合にのみ収束する。
• 近似作用素 Et(G) は ||G - Et(G)||_∞ ≤ CKt^α および Et(G) は CKt^{α-1}-リプシッツであることを満たし、Hölder 関数の定量的表現を提供する。
• この手法により、C^1,α パラメータ化の正則性が β-数の減衰率に依存し、平方関数が正確な定量的基準を提供することが示された。