[論文レビュー] Sufficient conditions for univalence and study of a class of meromorphic univalent functions

Bappaditya Bhowmik, Firdoshi Parveen|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単位円板における単純極をもつメラモルフィック関数の単価性のための新しい十分条件を確立し、|U_f(z)| < 1 が単価性を示すことを証明する。また、従来の 𝒰_p(λ) よりも厳密に大きな族であるクラス 𝒱_p(λ) を導入し、鋭い係数評価を導出し、第二テイラー係数の正確な変動領域を特定するとともに、高次係数に対する鋭い評価に関する予想を提示する。

ABSTRACT

In this article we consider the class $\mathcal{A}(p)$ which consists of functions that are meromorphic in the unit disc $\ID$ having a simple pole at $z=p\in (0,1)$ with the normalization $f(0)=0=f'(0)-1 $. First we prove some sufficient conditions for univalence of such functions in $\ID$. One of these conditions enable us to consider the class $\mathcal{V}_{p}(λ)$ that consists of functions satisfying certain differential inequality which forces univalence of such functions. Next we establish that $\mathcal{U}_{p}(λ)\subsetneq \mathcal{V}_{p}(λ)$, where $\mathcal{U}_{p}(λ)$ was introduced and studied in \cite{BF-1}. Finally, we discuss some coefficient problems for $\mathcal{V}_{p}(λ)$ and end the article with a coefficient conjecture.

研究の動機と目的

• 単位円板における単純極をもつメラモルフィック関数の単価性の十分条件を改善すること。
• |U_f(z)| < λ を満たす新しいクラス 𝒱_p(λ) を定義し、その性質を調査すること。
• Σ(p) が 𝒜(p) 内の単価関数のクラスであることを踏まえ、正確な包含関係 𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p) を確立すること。
• 𝒱_p(λ) に属する関数の係数問題、特にテイラー係数の変動領域を調査すること。
• 𝒱_p(λ) における高次テイラー係数の鋭い評価に関する予想を提示すること。

提案手法

• 𝒜(p) に属する関数 f を F(ζ) = 1/f(1/ζ) により 𝒫_p に変換し、それらを 𝒫_p ⊂ 𝒫 に結びつける。
• 文献[1]の定理Aを F ∈ 𝒫_p に適用し、|F’(ζ) - 1| ≤ 1 が F の単価性を示し、したがって f の単価性を示すことを示す。
• z = 1/ζ を用いた恒等式 F’(ζ) - 1 = U_f(z) を用い、|U_f(z)| < 1 の条件を単価性の十分条件に翻訳する。
• f ∈ 𝒱_p(λ) に対して、f(z) = z / (1 - (f''(0)/2)z + λz ∫₀^z w(t)dt) という表現を導出し、w ∈ ℬ（𝔻 内で有界な正則関数）を用いる。
• この表現を用いて、第二テイラー係数 a₂(f) の正確な変動領域を計算し、|a₂(f) - 1/p| ≤ λp を示す。
• 極値関数 k_p^λ を用いて、|a_n(f)| について λ, p, n を用いた予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒜(p) に属する、z = p ∈ (0,1) に単純極をもつメラモルフィック関数の単価性の最適な十分条件は何か？
• RQ2 |U_f(z)| < λ を満たす新しいクラス 𝒱_p(λ) は、従来のクラス 𝒰_p(λ) とどのように関係しているか？
• RQ3 𝒱_p(λ) に属する関数の第二テイラー係数 a₂(f) の正確な変動領域は何か？
• RQ4 𝒰_p(λ) における |a_n(f)| の鋭い係数評価は、より大きなクラス 𝒱_p(λ) に対しても有効かつ鋭いか？
• RQ5 極値関数 k_p^λ を用いて、𝒱_p(λ) における高次テイラー係数の鋭い評価に関する予想を立てられるか？

主な発見

• |U_f(z)| < 1 は、f ∈ 𝒜(p) の単価性の十分条件であり、以前の評価 ((1−p)/(1+p))² よりも改善されている。
• クラス 𝒱_p(λ) は 𝒰_p(λ) よりも厳密に大きく、𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p) が成り立つ。これは、𝒰_p(λ) に属さないが 𝒱_p(λ) に属する関数を構成することで示された。
• 第二テイラー係数 a₂(f) の正確な変動領域は、閉円板 |a₂(f) - 1/p| ≤ λp であり、f_θ(z) = z / (1 - (z/p)(1 + λp²e^{iθ}) + λe^{iθ}z²) で等号が成立する。
• |a₂(f)| ≤ 1/p + λp は鋭い評価であり、k_p^λ(z) = -pz / ((z−p)(1−λpz)) で等号が成立する。
• 関数 k_p^λ はクラス 𝒱_p(λ) に対して極値的であり、|a_n(f)| ≤ (1−λ^n p^{2n}) / (p^{n−1}(1−λp²)) （n ≥ 3）がすべての n に対して成り立ち、等号は k_p^λ で成立するという予想が提示された。