[論文レビュー] Sufficient conditions on Liouville type theorems for the 3D steady Navier-Stokes equations

G. Serëgin, W. Wang|arXiv (Cornell University)|May 6, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、速度場のLorentz空間における減衰を分析することにより、3次元定常ナビエ＝ストークス方程式におけるLiouville型定理の新たな十分条件を確立する。$ M_{\frac{2}{3},q,u}(R) $ が無限遠で有界のままであれば、エネルギー散逸 $ D(u) $ が制御され、このノルムが $ D(u) $ に対して十分に小さい場合には $ u \equiv 0 $ が成り立つ。これは、$ L^{9/2} $、$ BMO^{-1} $、およびLorentz弱空間における先行研究を一般化する。

ABSTRACT

Our aim is to prove Liouville type theorems for the three dimensional steady-state Navier-Stokes equations provided the velocity field belongs to some Lorentz spaces. The corresponding statement contains several known results as a particular case.

研究の動機と目的

• 3次元定常ナビエ＝ストークス方程式のすべての滑らかな解が恒等的に消えるような新たな十分条件を確立すること。
• 速度場の可積分性に関する仮定を $ L^{9/2} $ および $ BMO^{-1} $ を超えて緩和することで、既存のLiouville型結果を一般化すること。
• Galdi、Chae、Kozono、Chae-Wolfらの先行研究におけるLorentz空間の結果を統合・拡張すること。
• Lorentzノルムにおける速度の漸近的減衰に基づいて、消える解を特徴付ける枠組みを提供すること。

提案手法

• 環状領域における速度の減衰を測るため、スケーリングされたLorentzノルム $ M_{\theta,q,\nu}(R) = R^{\theta - 3/q} \|u\|_{L^{q,\nu}(B_R \setminus B_{R/2})} $ を導入する。
• 切断関数と発散なし拡張を用いて、Lorentz空間における勾配 $ \nabla u $ のCaccioppoli型不等式を導出する。
• Hölder不等式およびGagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式を適用し、二重の環状領域における $ \nabla u $ の $ L^2 $ ノルムを制御する。
• スケーリングの議論と補間を用いて、Lorentzノルムの減衰をエネルギー散逸 $ D(u) = \int |\nabla u|^2 dx $ と関連付ける。
• 2つの状態に分ける：(i) $ q > 3 $、$ \gamma = \frac{2}{3} $、および (ii) $ \frac{12}{5} < q < 3 $、$ \gamma > \frac{1}{3} + \frac{1}{q} $、それぞれ異なる減衰条件を要請する。
• $ R \to \infty $ の極限をとる帰納的議論を適用し、スケーリングされたLorentzノルムが十分に小さい場合には $ D(u) = 0 $ が成り立ち、したがって $ u \equiv 0 $ が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度場のLorentz空間における減衰条件がどのようなものであれば、3次元定常ナビエ＝ストークス方程式の唯一の解が恒等的に消えるのか？
• RQ2 古典的なGaldiの結果（$ L^{9/2} $ におけるもの）は、Lorentz空間ノルムを用いて回復され、一般化可能か？
• RQ3 速度 $ u $ のLorentz空間における減衰率はエネルギー散逸 $ D(u) $ にどのように影響し、いつ $ D(u) = 0 $ を強制するのか？
• RQ4 Kozono らの十分条件 $ \|u\|_{L^{9/2,\infty}} \leq \delta D(u)^{1/3} $ をLorentz空間を用いて改善可能か？
• RQ5 Chae-Wolfの対数的可積分性に関する結果は、本研究の枠組みにおいて拡張可能か、あるいは区別可能か？

主な発見

• $ q > 3 $、$ 3 \leq \ell \leq \infty $、$ \gamma = \frac{2}{3} $ の場合、$ \liminf_{R \to \infty} M_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) < \infty $ ならば、$ D(u) \leq c(q,\ell) \liminf_{R \to \infty} M^{3}_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) $ が成り立つ。
• $ \liminf_{R \to \infty} M^{3}_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) \leq \delta D(u) $ が十分小さい $ \delta < 1/c(q,\ell) $ に対して成り立つならば、$ u \equiv 0 $ である。
• この結果は、Galdiの $ L^{9/2} $ 結果を一般化しており、$ u \in L^{9/2} $ のとき $ M_{\frac{2}{3},\frac{9}{2},\frac{9}{2}}(R) \to 0 $（$ R \to \infty $）であるため、成り立つ。
• $ q = \frac{9}{2} $、$ \ell = \infty $ の場合、条件 $ \liminf M^{3}_{\frac{2}{3},\frac{9}{2},\infty}(R) \leq \delta D(u) $ は、Kozono-Terasawa-Wakasugiの結果を拡張する。
• 第二の状態、$ \frac{12}{5} < q < 3 $、$ \gamma > \frac{1}{3} + \frac{1}{q} $ の場合、[10]の結果を緩和した指数条件によって改善されている。
• 定理は、$ N(u) = \infty $ であっても、点での減衰 $ |u| \leq C|x|^{-2/3} (\ln \ln |x|)^{-\nu} $（$ \nu \leq \frac{2}{9} $）が成り立つならば $ u \equiv 0 $ が成り立つことを示しており、これはChae-Wolfの条件では捉えきれない。