[論文レビュー] Sum formula for multiple zeta function

Minoru Hirose, Hideki Murahara+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2018

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ひとこと要約

本稿は、複素引数をとるEuler-Zagier多重ゼータ関数（MZF）において、古典的な多重ゼータ値（MZV）の和公式を一般化する。深さの高いMZVを統一する再帰的関数族 $ G_{a,b}(s_1,\dots,s_a;s) $ を導入し、$ G_{0,b}(s) = \zeta(s) $ が $ \Re(s) > b $ で成り立つことを証明することで、和公式を複素変数および深さ $ b \geq 2 $ にまで拡張する。

ABSTRACT

The sum formula is a well known relation in the field of the multiple zeta values. In this paper, we present its generalization for the Euler-Zagier multiple zeta function.

研究の動機と目的

• Euler-Zagier多重ゼータ関数（MZF）において、多重ゼータ値（MZV）の古典的和公式を正の整数から複素引数へ拡張すること。
• Matsumotoの質問、すなわち既知のMZV関係式が正の整数を超えて成り立つかどうかを、和公式の複素変数への一般化によって解決すること。
• 深さ $ a+b $ のMZVを統一する再帰的関数族 $ G_{a,b}(s_1,\dots,s_a;s) $ を定義・解析し、指定された複素領域における収束を保証すること。
• $ G_{0,b}(s) = \zeta(s) $ を $ \Re(s) > b $ で証明することで、$ s \in \mathbb{Z}_{>b} $ のとき古典的和公式が特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• MZF値を含む無限級数による再帰的定義：$ G_{a,b} = \sum_{n=0}^\infty G_{a+1,b-1}(s_1,\dots,s_a,s-n-b;n+b) - \sum_{n=0}^\infty G_{a+1,b-1}(s_1,\dots,s_a,-n;s+n) $、初期条件 $ G_{a,1} = \zeta(s_1,\dots,s_a,s) $ を用いる。
• 複数のゼータ級数との比較を用いて、$ \Re(s) > b $、$ \Re(s + s_a) > 1 + b $、…、$ \Re(s + s_a + \cdots + s_1) > a + b $ の領域で $ G_{a,b} $ の絶対収束を確立する。
• チェーン $ 0 < m_1 < \cdots < m_a < m $ における和としての $ G_{a,b} $ の明示的積分表現を証明し、$ x_1 \leq \cdots \leq x_{b-1} $ における調和和を係数に含む。
• 解析接続を用いて、$ \Re(s) > 2 $ で成り立つ恒等式 $ \sum_{n=0}^\infty (\zeta(s-n-2,n+2) - \zeta(-n,s+n)) = \zeta(s) $ を $ \Re(s) > 1 $、$ s \neq 2 $ まで拡張する。
• 整数のチェーンに関する部分和 $ F_d^{(i)}(D;s) $ を含む再帰的恒等式を活用し、$ F_{d+1}(D;s) = F_d^{(1)}(D;s) - F_d^{(2)}(D;s) - F_d^{(3)}(D;s) $ を証明することで、帰納的収束制御を可能にする。
• 再帰的構造を応用し、$ G_{0,b}(s) = \zeta(s) $ を示す。これは $ m $ に関する和に還元され、最終的にリーマンゼータ関数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Euler-Zagier MZFにおけるMZVの古典的和公式は、複素引数へ一般化可能か？
• RQ2 複素パラメータをもつ深さ $ b $ のMZVの和を支配する再帰的構造は何か？収束性および正則性を保証する。
• RQ3 $ s $ が $ b $ より大きい正の整数であるとき、一般化された和公式は古典的和公式とどのように関係するか？
• RQ4 複素パラメータにどのような条件を課すと、一般化された和公式の収束性およびメロモルフィック続行が保証されるか？
• RQ5 再帰的関数族を用いて、任意の深さ $ b \geq 2 $ における和公式を拡張可能か？

主な発見

• 複素数 $ s $ に対して $ \Re(s) > b $ で $ G_{0,b}(s) = \zeta(s) $ が成り立つ。これは古典的和公式を複素パラメータにまで拡張するものである。
• $ G_{a,b}(s_1,\dots,s_a;s) $ は、$ \Re(s) > b $、$ \Re(s + s_a) > 1 + b $、…、$ \Re(s + s_a + \cdots + s_1) > a + b $ の領域で適切に定義され、絶対収束する。
• $ s \in \mathbb{Z}_{>b} $ のとき、$ G_{a,b}(s_1,\dots,s_a;s) $ は $ \sum_{m_1+\cdots+m_b=s,\, m_i \geq 1, m_b \geq 2} \zeta(s_1,\dots,s_a,m_1,\dots,m_b) $ に還元され、古典的和公式が回復される。
• $ \Re(s) > 2 $ で証明された恒等式 $ \sum_{n=0}^\infty (\zeta(s-n-2,n+2) - \zeta(-n,s+n)) = \zeta(s) $ は、級数変換と解析接続により $ \Re(s) > 1 $、$ s \neq 2 $ まで拡張された。
• $ G_{a,b} $ の再帰的構造が $ F_{d+1}(D;s) = F_d^{(1)}(D;s) - F_d^{(2)}(D;s) - F_d^{(3)}(D;s) $ を満たすことが示され、帰納的収束制御と明示的評価が可能になった。
• 明示的公式 $ G_{a,b}(s_1,\dots,s_a;s) = \sum_{0<m_1<\cdots<m_a<m} \frac{1}{m_1^{s_1}\cdots m_a^{s_a} m^{s-b+1}} \sum_{m-m_a \leq x_1 \leq \cdots \leq x_{b-1} \leq m} \frac{1}{x_1 \cdots x_{b-1}} $ が導出され、収束性が証明された。