[論文レビュー] Sum-networks: system of polynomial equations, reversibility, insufficiency of linear network coding, unachievability of coding capacity

Brijesh Kumar, Bikash Kumar Dey|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2009

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての端末がソース記号の和を要求する有向無閉路ネットワーク（sum-networks）を導入し、可解性および線形可解性の観点で複数ユニキャストネットワークと同等であることを確立する。有限体 F 上でのスカラー線形可解性が、F 上の整数係数多項方程式系の共通根の存在とちょうど一致することを証明し、線形ネットワーク符号化の不十分性および和ネットワークにおける容量到達の不可能性を示している。

ABSTRACT

A directed acyclic network is considered where all the terminals demand the sum of the symbols generated at all the sources. We call such a network as a sum-network. It is shown that there exists a solvably (and linear solvably) equivalent sum-network for any multiple-unicast network (and more generally, for any acyclic directed network where each terminal node demands a subset of the symbols generated at all the sources). It is also shown that there exists a linear solvably equivalent multiple-un icast network for every sum-network. As a consequence, many known results for multiple-unicast networks also hold for sum-networks. Specifically, it is shown that for any set of polynomials having integer coefficients, there exist s a sum-network which is scalar linear solvable over a finite field F if and only if the polynomials have a common root in F . Similarly, the insufficiency of linear network coding and unachievability of the network coding capacity is proved for sum-networks. It is shown that there exists a solvable sum-network whose reverse network is not solvable. On the other hand, a sum-network and its reverse network are shown to be solvably equivalent under fractional vector linear network coding.

研究の動機と目的

• すべての端末がソース記号の和を要求する和ネットワークの定義と解析。
• 和ネットワークと複数ユニキャストネットワークの間での可解性および線形可解性の同等性の確立。
• 有限体 F 上での和ネットワークのスカラー線形可解性が、F 上の整数係数多項方程式系の共通根の存在とちょうど同等であることを示すこと。
• 和ネットワークにおける線形ネットワーク符号化の不十分性およびネットワーク符号化容量の到達不可能性の証明。
• 和ネットワークの可逆性および分数的ベクトル線形符号化下での可解性の調査。

提案手法

• ネットワーク変換技術を用いて、任意の複数ユニキャストネットワークに対して可解性と線形可解性に関して同等な和ネットワークを構築する。
• 和ネットワークのスカラー線形可解性を決定する整数係数多項方程式系を定式化する。
• 代数幾何学および有限体論を用いて、多項方程式の可解性とネットワーク可解性を結びつける。
• 和ネットワークが可解であってもその逆ネットワークが可解でないことがあることを証明し、可解性における非対称性を示す。
• 分数的ベクトル線形ネットワーク符号化の下で、和ネットワークとその逆ネットワークが可解的に同等であることを示す。
• 確立された同等性を介して、既知の複数ユニキャストネットワークの結果を和ネットワークに応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複数ユニキャストネットワークは、可解性および線形可解性の観点で、同等な和ネットワークに変換可能か？
• RQ2 有限体 F 上での和ネットワークのスカラー線形可解性は、F 上の整数係数多項方程式系の共通根の存在とちょうど同等か？
• RQ3 線形ネットワーク符号化は和ネットワークで容量を達成できないのか？ もしそうならば、その理由は何か？
• RQ4 和ネットワークが可解であっても、その逆ネットワークが可解でないことはあり得るか？
• RQ5 どのような条件下で和ネットワークとその逆ネットワークは可解的に同等になるか？

主な発見

• 任意の整数係数多項方程式系に対して、その多項式が有限体 F 上に共通根を持つことと、F 上でスカラー線形可解な和ネットワークが存在することはちょうど同等である。
• 可解であるがその逆ネットワークが可解でない和ネットワークが存在し、これはネットワーク可解性における根本的な非対称性を示している。
• 和ネットワークにおける線形ネットワーク符号化の不十分性が証明された。つまり、線形符号化は常にネットワークの容量を達成できるわけではない。
• 和ネットワークにおけるネットワーク符号化容量の到達不可能性が確立され、いかなる線形符号化方式でも容量を達成できないことが示された。
• 分数的ベクトル線形ネットワーク符号化の下では、和ネットワークとその逆ネットワークは可解的に同等であることが示され、スカラー線形符号化における観察された非対称性が解消された。
• 構築された同等性を介して、複数ユニキャストネットワークに既知の性質が和ネットワークへと拡張された。