[論文レビュー] Sum of Squares Decompositions and Rank Bounds for Biquadratic Forms

Liqun Qi, Chunfeng Cui+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2026

Matrix Theory and Algorithms被引用数 0

ひとこと要約

本論文は二次二次形式のPSDおよびSOS性質を特徴づけ、PSD x-対称形式は常にSOSであることを証明し、SOS分解の境界と、SOS次数の明示的な下限/上限を含む計算的手法を提供する。

ABSTRACT

We study SOS properties of biquadratic forms. For the class of partially symmetric biquadratic forms, we establish necessary and sufficient conditions for positive semi-definiteness and prove that every PSD partially symmetric biquadratic form is a sum of squares of bilinear forms. This extends the known result for fully symmetric biquadratic forms. We describe an efficient computational procedure for constructing SOS decompositions, exploiting the Kronecker-product structure of the associated matrix representation. We introduce simple biquadratic forms. For $m \ge 2$, we present a $m imes 2$ PSD biquadratic form and show that it can be expressed as the sum of $m+1$ squares, but cannot be expressed as the sum of $m$ squares. This provides a lower bound for sos rank of $m imes 2$ biquadratic forms, and shows that previously proved results that a $2 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of three squares, and a $3 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of four squares, are tight. We also present an $3 imes 3$ SOS biquadratic form, which can be expressed as the sum of six squares, but not the sum of five squares.We present a $2 imes 2$ PSD biquadratic form, and show that it can be expressed as the sum of three squares, but cannot be expressed as the sum of two squares. Furthermore, we present a $3 imes 2$ PSD biquadratic form, and show that it can be expressed as the sum of four squares, but cannot be expressed as the sum of three squares. These show that previously proved results that a $2 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of three squares, and a $3 imes 2$ PSD biquadratic form can be expressed as the sum of four squares, are tight. Moreover, we establish a universal upper bound SOS-rank$(P) \le mn-1$ for any SOS biquadratic form, which improves the trivial bound $mn$ and is tight in small dimensions.

研究の動機と目的

• 正定値半正定二次二次形式とそのSOS表現を調査する。
• 完全対称から部分対称（x-対称）形式への既知のSOS結果を拡張する。
• Kronecker積構造を活用してSOS分解を構築する計算手順を開発する。

提案手法

• モニックおよびノンモニックのx-対称 biquadratic形式とそれに関連する対称biquadraticテンソルを定義する。
• PSDの必要十分条件を行列不等式 I+B−A ≽ 0 および I+B+(m−1)A ≽ 0 により導出する。
• PSDなモニックx-対称 biquadratic形式は常にSOSであることを、PSDのM行列からSOS分解を構築して証明する。
• 構造的なSOS次数境界を提供する：SOS-rank(P) ≤ rank(R) + (m−1) rank(Q) で、Q = I_n + B − A, R = I_n + B + (m−1)A。
• 構造的M = I_m ⊗ Q + (1/m)(1_m 1_m^T) ⊗ (R−Q) の特性と固有分解を用いてSOS分解を得る計算的手法の概説。
• 必要に応じてモニックケースへ還元し変数スケーリングを適用することで、一般のx-対称形式へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSDモニックx-対称 biquadratic形式がSOSである条件は何か。
• RQ2 PSD x-対称 biquadratic形式は一般にSOS分解を持つのか（モニックケースを超えて）？
• RQ3 (m, n) の小規模および一般の次元に対するSOS次数の厳密な界は何か。
• RQ4 Kronecker積構造を活用して明示的なSOS分解を構築する効率的な計算手順を設計できるか。

主な発見

• PSDモニックx-対称 biquadratic形式は常に bilinear forms の和としての平方和（SOS）で表される。
• PSD x-対称形式は必要十分条件として行列不等式 I+B−A ≽ 0 および I+B+(m−1)A ≽ 0 を満たす。
• モニックx-対称形式のSOS次数境界は SOS-rank(P) ≤ rank(R) + (m−1) rank(Q) で、Q = I_n + B − A, R = I_n + B + (m−1)A。
• 任意のSOS biquadratic形式に対して universal な上限 SOS-rank(P) ≤ mn − 1 が成り立ち、単純な mn の境界より改善される。
• Kronecker積構造を活用してSOS分解を計算する明示的で効率的な手続きが提供され、分解は rank(M) に等しい階数の平方和として表される。
• 下界の構成は、小次元での SOS-rank の厳密性を示す（例：m×2 形式には少なくとも m+1 個の平方が必要；3×3 の特定例では六平方が必要）。