[論文レビュー] Sum of squares of degrees in a graph

Bernardo M. Ábrego, Silvia Fernández‐Merchant+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2008

Graph theory and applications参考文献 17被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、v 頂点と e 辺を持つ単純グラフにおける、次数の二乗和の最大値を特定する長年の未解決問題を解決する。クasiスターまたはクasi完全グラフのどちらが最大を達成するかを特定し、両者が最適である場合の正確な条件をペル方程式を用いて提示し、各 (v,e) 組に対して最大値を達成するすべてのグラフを特徴づける。

ABSTRACT

Let $\G(v,e)$ be the set of all simple graphs with $v$ vertices and $e$ edges and let $P_2(G)=\sum d_i^2$ denote the sum of the squares of the degrees, $d_1, >..., d_v$, of the vertices of $G$. It is known that the maximum value of $P_2(G)$ for $G \in \G(v,e)$ occurs at one or both of two special graphs in $\G(v,e)$--the \qs graph or the \qc graph. For each pair $(v,e)$, we determine which of these two graphs has the larger value of $P_2(G)$. We also determine all pairs $(v,e)$ for which the values of $P_2(G)$ are the same for the \qs and the \qc graph. In addition to the \qs and \qc graphs, we find all other graphs in $\G(v,e)$ for which the maximum value of $P_2(G)$ is attained. Density questions posed by previous authors are examined.

研究の動機と目的

• v 頂点と e 辺を持つ単純グラフにおける次数の二乗和 P₂(G) の最大値を特定する未解決問題を解決すること。
• 各 (v,e) に対して、クasiスターまたはクasi完全グラフのどちらが P₂(G) の最大値を達成するかを特定すること。
• クasiスターおよびクasi完全グラフ以外の、G(v,e) に属するすべてのグラフが最大 P₂(G) を達成する条件を特徴づけること。
• 密度に関する問題を分析し、クasiスターおよびクasi完全グラフが同じ最大 P₂(G) を達成するすべての (v,e) 組を特定すること。

提案手法

• G ∈ G(v,e) のグラフ G における次数の二乗和を P₂(G) = Σdᵢ² と定義する。
• 最大化の候補として、クasi完全グラフ QC(v,e) およびクasiスター・グラフ QS(v,e) の2つの極値グラフを導入する。
• 補完関係を用いる：QS(v,e) は QC(v,e′) の補グラフであり、ここで e′ = C(v,2) − e である。これにより S(v,e) と C(v,e) を関連付ける。
• 整数パラメータ k および j を用いて、e = C(k+1,2) − j（1 ≤ j ≤ k）の形で表される場合に、C(v,e) および S(v,e) の閉形式表現を導出する。
• 特にペル方程式の解を用いた数論的技法を適用し、C(v,e) と S(v,e) の等価性および優位性の正確な条件を特定する。
• 臨界値 m(v) = ½C(v,2) および C(k₀,2) ≤ m < C(k₀+1,2) を満たす k₀(v) を用いて、辺数の中央付近を対称的な区間に分割して解析を展開する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた (v,e) に対して、クasiスターまたはクasi完全グラフのどちらが次数の二乗和をより大きくするか？
• RQ2 どの (v,e) 組に対して、クasiスターおよびクasi完全グラフの両方が同じ次数の二乗和を達成するか？
• RQ3 G(v,e) に属するすべてのグラフの中で、P₂(G) の最大値を達成するのはどのようなものか？
• RQ4 どのような条件下で、P₂(G) の最大値がクasiスターおよびクasi完全グラフの両方で同時に達成されるか？
• RQ5 ペル方程式の解は、最適な (v,e) 組の密度および分布をどのように特徴づけるか？

主な発見

• G ∈ G(v,e) における P₂(G) の最大値は、常にクasi完全グラフ QC(v,e) またはクasiスター・グラフ QS(v,e)、あるいは両方で達成される。
• e < m − v/2 の場合、クasiスター・グラフ QS(v,e) が最大値を達成する。e > m + v/2 の場合、クasi完全グラフ QC(v,e) が最大値を達成する。
• 2b₀ ≥ k₀ である場合、ここで b₀ = m − C(k₀,2) とすると、e ≤ m の範囲でクasiスターが優位となり、e ≥ m の範囲でクasi完全が優位となり、等価性は e = m のみで成立する。
• ペル方程式 V² − 2J² = −1 の解によって特徴づけられる無限個の (v,e) 組があり、その中で QC(v,e) と QS(v,e) が同じ最大 P₂(G) を達成する。
• ペル方程式の特定の解により、正確に 3 つまたは 4 つの最適次数列を持つ無限系列の (v,k,e) が得られ、例として (v,k,e) = (22,15,105)、(121,85,3570)、および (12,25,52,69)（4つの最適分割を有する）が挙げられる。
• 関連するペル方程式のすべての解は、必要な条件 k = k₀(v) を満たしており、導出されたグラフが実際に G(v,e) における極値であることを保証する。