[論文レビュー] Summability estimates on transport densities with dirichlet regions on the boundary via symmetrization techniques

Samer Dweik, Filippo Santambrogio|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、内部の源 $f^+ \in L^p(\Omega)$ から境界 $\partial\Omega$ へ質量が輸送される最適輸送問題において、Dirichlet 条件の下で輸送密度 $\sigma$ の $L^p$ 可 summability 評価を確立する。対称化技術を用いて、$\Omega$ が一様な外部球条件を満たす場合には $\sigma \in L^p\left(\Omega\right)$ が成り立つことを証明し、既存の結果を $p = \infty$ および凸でない領域へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider the mass transportation problem in a bounded domain $Ω$ where a positive mass f + in the interior is sent to the boundary $\partialΩ$, appearing for instance in some shape optimization problems, and we prove summability estimates on the associated transport density $σ$, which is the transport density from a diffuse measure to a measure on the boundary f -- = P \# f + (P being the projection on the boundary), hence singular. Via a symmetrization trick, as soon as $Ω$ is convex or satisfies a uniform exterior ball condition, we prove L p estimates (if f + $\in$ L p, then $σ$ $\in$ L p). Finally, by a counterexample we prove that if f + $\in$ L $\infty$ $(Ω)$ and f -- has bounded density w.r.t. the surface measure on $\partialΩ$, the transport density $σ$ between f + and f -- is not necessarily in L $\infty$ $(Ω)$, which means that the fact that f -- = P \# f + is crucial.

研究の動機と目的

• 内部源 $f^+$ から境界 $\partial\Omega$ へ質量が輸送される際の輸送密度 $\sigma$ の可 summability 評価を確立すること。
• $f^-$ が特異的（$\partial\Omega$ 上に台を持つ）である場合に、$f^+$ の $L^p$ 可積分性が $\sigma$ に引き継がれるかどうかを、特に $p \geq d/(d-1)$ の場合に調査すること。
• 既知の $L^p$ 結果を凸領域に限らないで、一様な外部球条件を満たす領域へ拡張すること。
• $f^{-} = P_\# f^+$ という条件が $\sigma$ が $f^+$ の $L^p$ 正則性を引き継ぐために必要であるかどうかを、反例の構成により明確にすること。

提案手法

• $\Omega$ 内の輸送密度 $\sigma$ を、$f^+$ が $\partial\Omega$ に関して反射された対称領域における輸送密度と関連付けるために、対称化技術を用いる。
• 多面体または球面多面体領域では、$\sigma$ が対称輸送密度を $\Omega$ に制限したものに一致することを用いる。
• 近似法を用いて、球面多面体から一様な外部球条件を満たす一般の領域へ結果を拡張する。
• 境界項における部分積分と符号解析を用いて、$\sigma$ の $L^p$ ノルムを制御する。
• $\mathbb{R}^2$ 内で台が台形の源で、標的が境界線分である反例を構成し、$f^+ \in L^\infty$ であっても $\sigma \notin L^\infty$ であることを示す。
• 角の近くでの $\sigma$ の局所的挙動を、角度と距離を含む幾何的推定により分析し、反例では $\sigma \sim r^{-1/2}$ が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Omega$ にどのような幾何的条件が課されると、$f^+ \in L^p(\Omega)$ ならば $\sigma \in L^p(\Omega)$ となるか、特に $f^{-} = P_\# f^+$ のとき。
• RQ2 $p = \infty$ において、適切な領域の正則性のもとで $\sigma$ の $L^p$ 可 summability を $p = \infty$ へ拡張できるか。
• RQ3 $f^{-}$ が特異的である場合に、$\sigma$ が $f^+$ の $L^p$ 正則性を引き継ぐために $f^{-} = P_\# f^+$ という条件が本質的であるか。
• RQ4 $f^+ \in L^\infty$ で $f^{-}$ が低次元集合に台を持つとき、$\sigma$ の鋭い可 summability 閾値は何か。
• RQ5 $\Omega$ の幾何的構造、特に角の近くでの挙動が、$\sigma$ の局所的可積分性にどのように影響するか。

主な発見

• 任意の $p \in [1, \infty]$ に対して、$f^+ \in L^p(\Omega)$ かつ $\Omega$ が一様な外部球条件を満たすならば、輸送密度 $\sigma$ は $L^p(\Omega)$ に属する。
• $p = \infty$ に対しても、この結果が成り立つことが示され、以前の仮定下では未だ確立されていなかった。
• 対称化法により、$L^p$ 評価を凸領域から、外部球条件を満たすより広い領域のクラスへ拡張できる。
• 反例により、$f^+ \in L^\infty(\Omega)$ で $f^{-}$ が $\partial\Omega$ 上で有界な密度を持つ場合でも、$\sigma$ が $L^\infty(\Omega)$ に属さないことがあることが示され、$f^{-} = P_\# f^+$ が本質的であることが証明された。
• 反例において、$\sigma$ は角 $(2,0)$ の近くで $\sigma(B_{2r}) \gtrsim r^{3/2}$ を満たし、$\sigma \notin L^\infty$ かつ $\sigma \notin L^4$ を示している。
• 精密な解析により、$\sigma \in L^p(\Delta_1)$ であるための必要十分条件は $p < 3$ であることが判明したが、$f^+ \in L^\infty$ かつ $d=2$ であるにもかかわらず、標的の次元が正則性に影響を与えることが示された。