[論文レビュー] Summable families in tempered distribution spaces

David Carfì|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子力学における無限個のベクトル状態の集合を扱うための、台付き分布空間における和集合可能族の概念を導入し、厳密な数学的枠組みを提供する。正規テスト関数空間を用いてE族およびE和集合可能族を定義し、任意の正規空間におけるE族が台付き分布の双対空間に関して和集合可能であることを証明し、連続的添字集合への重ね合わせ原理の一般化を達成する。

ABSTRACT

In this note we define summable families in tempered distribution spaces and we state some their properties and characterizations. Summable families are the analogous of summable sequences in separable Hilbert spaces, but in tempered distribution spaces, having elements (functional) realizable as generalized vectors indexed by real Euclidean spaces (not pointwise defined ordered families of scalars indexed by real Euclidean spaces in the sense of distributions). Any family we introduce here is summable with respect to every tempered system of coefficients belonging to a certain normal space of distributions, in the sense of superpositions. The summable families we present in this note are one possible rigorous and simply manageable mathematical model for the infinite families of vector-states appearing in the formulation of the continuous version of the celebrated Principle of Superpositions in Quantum Mechanics.

研究の動機と目的

• 台付き分布理論を用いて、量子力学における無限個のベクトル状態の族を形式化すること。
• 一般化された和集合可能性を用いて、連続的添字集合への重ね合わせ原理を拡張すること。
• 台付き分布空間におけるE族およびE和集合可能族の定義と特徴付けをすること。
• このような族が正規分布関数空間に関して和集合可能であるための条件を確立すること。
• 分布の双対性を用いて、連続的重ね合わせを厳密かつ扱いやすいモデルとして提供すること。

提案手法

• E族をR^mに添字付けられた分布として定義し、テスト関数への作用がS_m ⊃ Eの部分空間に属するものとする。
• E'_wの双対空間を用いてE和集合可能性を定義し、すべてのa ∈ E'_wに対してa(v(φ)) ∈ S_n'であることを要請する。
• S_mおよびC_mに関する位相的および稠密性条件を満たすテスト関数空間Eの正規空間の概念を用いる。
• ディラック族(δ_p)を用いて、連続線形作用素A: S_n → Eを介してE族を生成する。
• Eが正規空間であれば、すべてのE族はE和集合可能であることを示し、位相的双対性および作用素の連続性に依拠する。
• S_mがEに稠密かつ連続的に埋め込まれていることから、双対空間E'_wが台付き分布からなることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、分布論を用いて、量子力学における無限個のベクトル状態の族を厳密にモデル化できるか？
• RQ2 R^mに添字付けられた台付き分布族が、与えられた係数空間に関して和集合可能であるための条件は何か？
• RQ3 正規テスト関数空間がE族の和集合可能性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 Eとその位相的双対E'_wとの双対性が、重ね合わせ汎関数が台付き分布のまま保たれることをどのように保証するか？
• RQ5 E和集合可能族を用いて、連続的重ね合わせ原理の形式的定式化は可能か？S_n'において。

主な発見

• 正規テスト関数空間Eにおける任意のE族は、E和集合可能である。すなわち、任意の台付き分布a ∈ E'_wに対して、φ ↦ a(v(φ))はS_n'に属する台付き分布を定義する。
• 和集合可能性条件は、S_nからKへの写像v(φ) ↦ a(v(φ))の連続性と同値であり、これにより得られる汎関数が分布であることが保証される。
• ディラック族δ_pは、連続線形作用素A: S_n → Eを介してE族を生成し、E族の体系的構成を可能にする。
• Eが正規空間であれば、E'_wは台付き分布の空間であり、双対埋め込みによりコンパクト台付き測度およびラドン測度がE'_wに含まれることが保証される。
• 定数族v_y = u ∈ S_n'の例は、E = C^∞(R^m)のときE_m-和集合可能であることが示され、∫ a v = (∫ a) uであることから、滑らかな係数分布に対しても和集合可能性が確認される。
• 本理論は、ヒルベルト空間における列の古典的和集合可能性を、分布空間における連続的族へ一般化し、量子力学における連続的重ね合わせの基礎を提供する。