[論文レビュー] Sums of binomial determinants, non-intersecting lattice paths and positivity of Chern-Schwartz-MacPherson classes

Leonardo C. Mihalcea|ArXiv.org|Feb 19, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シューベルト計算における非交差格子路から生じる2項行列式の和に関する正性予想を証明し、p=2およびp=3に対して、格子点配置の族を渡る行列式の和が常に正であることを確立する。この結果は、グラスマン多様体シューベルトホモロジーにおけるチャーン・シュワーツ・マクフィーソンクラス係数の正性として幾何学的に解釈され、p=3に対してはバランス型パス三重組を用いた構成的組合的公式が提示される。

ABSTRACT

We give a combinatorial interpretation of a certain positivity conjecture of Chern-Schwartz-MacPherson classes, as stated by P. Aluffi and the author in a previous paper. It translates into a positivity property for a sum of p by p determinants consisting of binomial coefficients, generalizing the classical Theorem of Lindstrom-Gessel-Viennot et al. which computes these determinants in terms of non-intersecting lattice paths. We prove this conjecture for p=2,3.

研究の動機と目的

• 格子路配置から生じるp×pの2項行列式の和の正性に関する予想を証明すること。
• グラスマン多様体のシューベルトホモロジーにおけるチャーン・シュワーツ・マクフィーソンクラス係数の組合的解釈を提供すること。
• 初期点の制約を緩和しながらも行列式の和の正性を保つように、リンストロム–ゲゼル–ビアンノットの定理を一般化すること。
• p=2およびp=3の場合に、c(λ,μ)の明示的な正の組合的公式を確立すること。
• 代数幾何学（CSMクラス）と数え上げ組合的論理（格子路と行列式）を結びつけること。

提案手法

• 分割λ, μおよび三角形列s ∈ S(λ)に基づき、非負整数aᵢⱼに制約を課した、2p個の格子点A₁(s), ..., Aₚ(s)およびB₁, ..., Bₚの族を定義する。
• Aᵢ(s)からBⱼへの移動を、右または下へのみのステップで許す行列M(s)を構成し、その成分mᵢⱼ(s)をAᵢ(s)からBⱼへの格子路の数とする。
• c(λ,μ) = ∑ₛ∈S(λ) det M(s) を定義し、任意のpに対して正であると予想する。
• リンストロム–ゲゼル–ビアンノットの定理を用いて、個々の行列式を非交差パスの組の数として解釈する。
• p=2およびp=3の場合に、不正な変換（水平または対角的スワップ）を避ける「バランス型」パス三重組の概念を導入し、重複数えを防ぐ。
• 背理法を用いて正性を証明する：負の寄与を持つパス配置が存在すると仮定すると、xおよびy座標の不等式などの幾何的制約に反する点配置が要求される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p×pの2項行列式の和（格子点配置の族をインデックスとする）は、任意のpに対して常に非負であるか？
• RQ2 グラスマン多様体シューベルトホモロジーにおけるチャーン・シュワーツ・マクフィーソンクラス係数の正性は、格子路を通じて組合的に説明可能か？
• RQ3 p=2およびp=3の場合に、c(λ,μ)の正の組合的公式を構成可能か？その際、単に「バランス型」非交差パス三重組のみを数えるものとする。
• RQ4 初期格子点Aᵢ(s)にどのような条件を課えると、個々の行列式が負である可能性があるとしても、行列式の和が正のままであるか？
• RQ5 パrameter aᵢⱼに課される三角形制約は、非交差パス系の幾何的実現可能性とどのように関係するか？

主な発見

• c(λ,μ) は p=2およびp=3 に対して正であることが証明され、これらのケースにおける正性予想が裏付けられた。
• p=3の場合に、正の組合的公式が与えられる：c(λ,μ) は、A₁(s), A₂(s), A₃(s) から B₁, B₂, B₃ へのバランス型パス三重組 (π₁,π₂,π₃) の個数に等しい。ここで、隣接するパスの水平または対角的スワップによって有効な三角形配置が得られるようなものは含まない。
• p=3の証明は背理法に依拠する：負の寄与を持つパス系が存在すると仮定すると、xおよびy座標の不等式などの幾何的制約に反する点配置が要求される。
• 行列式 det M(s) は、点がNE–SW順序にある場合にのみ、Aᵢ(s) から Bⱼ への非交差格子路の数を数える。緩和された設定では、個々の行列式は負である可能性があるが、その和は正のままである。
• c(λ,μ) は、十分大きなnに対して、Gr(p,n)におけるシューベルト胞のCSMクラス展開におけるシューベルト多様体の基本類の係数に一致する。
• Aᵢ(s) の構成には、部分和RⱼおよびCⱼの再帰的依存関係が含まれており、三角形順序条件によりパス系が幾何的に一貫性を持つことが保証される。