[論文レビュー] Sums of Darboux and continuous functions

Juris Steprāns|ArXiv.org|Apr 27, 1993

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ダーブーファンクションと連続関数の和を調査し、任意のダーブーファンクション $ F $ に対して、$ F + f $ が依然としてダーブーファンクションであるような非定数連続関数 $ f $ が存在することを証明している。反復サックスフォーシングを用いて、$ f $ が至る所で定数でない場合でも、そのような和がダーブーファンクションのままであることが一貫していることを示し、キルヒハイムとナトカニエツの提示した普遍的に悪いダーブーファンクションに関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

It is shown that that for every Darboux function $F$ there is a non-constant continuous function $f$ such that $F+f$ is still Darboux. It is shown to be consistent --- the model used is iterated Sacks forcing --- that for every Darboux function $F$ there is a nowhere constant continuous function $f$ such that $F+f$ is still Darboux. This answers questions raised by B.~Kirchiem and T.~Natkaniec who have shown that in various models of set theory there are universally bad Darboux functions, Darboux functions whose sum with any nowhere constant, continuous function fails to be Darboux.

研究の動機と目的

• ダーブーファンクションと連続関数の和がダーブーファンクションのままであるかどうかを調査すること。
• キルヒハイムとナトカニエツが提示した普遍的に悪いダーブーファンクションに関する未解決問題を解決すること。
• 連続関数が至る所で定数でないといったより強い条件下でも、そのような和がダーブーファンクションのままである一貫性を調べること。
• フォーシング技法を用いて、ZFCと整合的であることを示す、このような関数の存在を証明すること。

提案手法

• 論文は、所望の性質が成り立つような集合論的モデルを構成するために反復サックスフォーシングを用いる。
• 任意のダーブーファンクション $ F $ に対して、$ F + f $ がダーブーファンクションであるような非定数連続関数 $ f $ が存在することを証明する。
• 構成により、フォーシングモデル内で $ f $ が至る所で定数でないように選べることを保証する。
• 証明は、ダーブーファンクションの性質と、特定の集合論的モデルにおける加法によるダーブーファンクション性の保存に依存する。
• 位相的および関数的性質を適切に保存するように、フォーシングモデルを慎重に設計する。
• 証明は、特にイデアル拡張とカテゴリー的議論の文脈における、数学的論理および集合論の技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダーブーファンクションと非定数連続関数の和が、ダーブーファンクションのままであることは可能か？
• RQ2 ダーブーファンクションと至る所で定数でない連続関数の和が、ダーブーファンクションのままであることは一貫的か？
• RQ3 任意の至る所で定数でない連続関数との和がダーブーファンクションでないような普遍的に悪いダーブーファンクションは存在するか？
• RQ4 フォーシングを用いて、このような関数の存在がZFCと整合的であることを示せるか？
• RQ5 どのような集合論的モデルが、連続関数との加法においてダーブーファンクション性を保存できるか？

主な発見

• 任意のダーブーファンクション $ F $ に対して、$ F + f $ が依然としてダーブーファンクションであるような非定数連続関数 $ f $ が存在する。
• 反復サックスフォーシングによって得られるモデルにおいて、任意のダーブーファンクション $ F $ に対して、$ F + f $ がダーブーファンクションのままであるような至る所で定数でない連続関数 $ f $ が存在することが一貫している。
• この結果により、任意の至る所で定数でない連続関数との和がダーブーファンクションでないような普遍的に悪いダーブーファンクションの存在は、ZFCで証明できないことが示された。
• 論文は、特定の集合論的仮定の下で、このような和がダーブーファンクション性を保存できることを確立した。
• フォーシング構成により、結果のモデルにおいてダーブーファンクション性が保存されることを保証した。
• 本研究は、ダーブーファンクションが連続関数との加法において受ける制限に関する長年の未解決問題を解決した。