[論文レビュー] Sums of products of polynomials in few variables : lower bounds and polynomial identity testing

Mrinal Kumar, Shubhangi Saraf|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特徴がゼロの体上の少数の変数における多項式の積の和について、指数的下界を確立する。特定の多項式族に関しては、各多項式に含まれる変数の数が全変数数に対して非線形である場合、そのような表現に必要なサイズは超多項式的になる。さらに、このモデルに対する最初の非自明な決定的ブラックボックス多項式恒等式検証（PIT）アルゴリズムを開発し、個々の次数とファンインが有界な条件下で、準指数的およびクアサインデックス時間で実行可能である。これは、硬さ-ランダムネスのトレードオフを活用することで達成された。

ABSTRACT

We study the complexity of representing polynomials as a sum of products of polynomials in few variables. More precisely, we study representations of the form $$P = \sum_{i = 1}^T \prod_{j = 1}^d Q_{ij}$$ such that each $Q_{ij}$ is an arbitrary polynomial that depends on at most $s$ variables. We prove the following results. 1. Over fields of characteristic zero, for every constant $μ$ such that $0 \leq μ< 1$, we give an explicit family of polynomials $\{P_{N}\}$, where $P_{N}$ is of degree $n$ in $N = n^{O(1)}$ variables, such that any representation of the above type for $P_{N}$ with $s = N^μ$ requires $Td \geq n^{Ω(\sqrt{n})}$. This strengthens a recent result of Kayal and Saha [KS14a] which showed similar lower bounds for the model of sums of products of linear forms in few variables. It is known that any asymptotic improvement in the exponent of the lower bounds (even for $s = \sqrt{n}$) would separate VP and VNP[KS14a]. 2. We obtain a deterministic subexponential time blackbox polynomial identity testing (PIT) algorithm for circuits computed by the above model when $T$ and the individual degree of each variable in $P$ are at most $\log^{O(1)} N$ and $s \leq N^μ$ for any constant $μ< 1/2$. We get quasipolynomial running time when $s < \log^{O(1)} N$. The PIT algorithm is obtained by combining our lower bounds with the hardness-randomness tradeoffs developed in [DSY09, KI04]. To the best of our knowledge, this is the first nontrivial PIT algorithm for this model (even for the case $s=2$), and the first nontrivial PIT algorithm obtained from lower bounds for small depth circuits.

研究の動機と目的

• 少数の変数における多項式の積の和として表現される多項式のための強い下界を確立すること。
• 特に深さ3および深さ4の同次モデルを超えた非同次低深さの算術回路の理解のギャップを埋めること。
• 個々の次数が有界で、sが非線形であるΣΠ(ΣΠ)^[s]回路クラスのための、最初の決定的ブラックボックス恒等式検証アルゴリズムを開発すること。
• 硬さ-ランダムネスのトレードオフを用いて、新しい回路クラスに対して下界とドレアム化の橋渡しを行うこと。
• このような下界が、回路複雑性と既知の関係があるVPとVNPの分離をもたらす可能性があるかどうかを検討すること。

提案手法

• N = n^O(1) 個の変数と次数nを持つ、少数の変数における低次の多項式の積の和としての効率的表現を回避するように設計された、明示的な多項式族 {P_N} を構築する。
• 代数幾何学と複雑性理論の技術、特にシフトされた部分導関数法を用いて、このような表現のサイズ Td に対する指数的下界を証明する。
• [DSY09, KI04] における硬さ-ランダムネスのトレードオフを用いて、個々の次数と T, d ≤ log^O(1) N が有界な回路に対して、ブラックボックスPITアルゴリズムに変換する。
• 多項式を同次成分に再帰的に分解し、次数制限付き表現を用いて、同次成分の抽出におけるファンインの膨張を制御する。
• PITの問題を、硬さ-ランダムネスフレームワークを用いて、ハッキング集合の構築に還元する。s ≤ log^O(1) N のとき、ハッキング集合のサイズはクアサインデックス時間になる。
• 補題3.5を用いて、トップファンインの増加を制御しながら多項式の同次成分を抽出し、有効な回路表現の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少数の変数における多項式の積の和について、各多項式に含まれる変数数が全変数数に対して非線形であっても、指数的下界を示せるか？
• RQ2 このような下界を、この回路クラスの決定的ブラックボックス恒等式検証アルゴリズムの構築に活用できるか？
• RQ3 個々の次数が有界で、sが非線形であるΣΠ(ΣΠ)^[s]回路に対して、準指数的またはクアサインデックス時間のPITを達成できるか？
• RQ4 このような下界の存在が、既知の複雑性理論的関係を踏まえて、VPとVNPの分離を示唆するか？
• RQ5 これらの技術を、個々の次数が無限大またはより高いトップファンインを持つ回路へ拡張できるか？その場合、複雑さが準指数的時間を超えないようにできるか？

主な発見

• 任意の定数 μ に対して 0 ≤ μ < 1 であれば、N = n^O(1) 個の変数と次数nを持つ明示的な多項式族 {P_N} が存在し、各 Q_{ij} が高々 s = N^μ 個の変数に依存する ∑_{i=1}^T ∏_{j=1}^d Q_{ij} の形での表現において、Td ≥ n^{Ω(√n)} が必要である。
• 本稿は、ΣΠ(ΣΠ)^[s]モデルに対する初めての非自明なブラックボックスPITアルゴリズムを提示し、T と個々の次数が log^O(1) N に有界で、s ≤ N^μ かつ任意の μ < 1/2 のとき、準指数的時間で実行可能である。
• s < log^O(1) N のとき、PITアルゴリズムはクアサインデックス時間で実行され、このモデルにおいて初めての結果である。
• s が N に対して多対数的であるとき、ハッキング集合の構築とアルゴリズムの実行時間は、N に関してクアサインデックス関数で上界が与えられる。
• 下界は、指数部の漸近的改善（例：s = √n の場合）が VP と VNP の分離を示すのに十分なほど強く、既知の複雑性理論的関係に基づく。
• 両者ともシフトされた部分導関数を用いているが、回路クラスと仮定の違いにより、フォアブス[For]の結果とは比較不能である。