[論文レビュー] Sumudu Transform of Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、三パラメータのMittag-Leffler関数を含む関係を確立する一方で、Hilfer-Prabhakar分数階微分およびその正則化版のSumudu変換を導出する。物理における非同次型Cauchy型分数階微分方程式を解くために、組み合わせたFourierおよびSumudu変換技術を適用し、一般化Mittag-Leffler関数を用いた明示的解が得られる。

ABSTRACT

In this paper the Sumudu transforms of Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained. These results are used to obtain relation between them involving Mittag- Leffler function. Also these results are applied to solve some problems in physics. Here the solutions of problems involving Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained by using Fourier and Sumudu transform techniques.

研究の動機と目的

• Hilfer-Prabhakar分数階微分およびその正則化版のSumudu変換を導出すること。
• 三パラメータMittag-Leffler関数を含む両微分の間の関数的関係を確立すること。
• 導出された変換を用いて、物理的現象に由来する非同次型Cauchy型分数階微分方程式を解くこと。
• Sumudu変換が複雑な記憶核を持つ分数階PDEを解く際に有効であることを示すこと。

提案手法

• Prabhakar積分作用素および三パラメータMittag-Leffler関数を用いて、Hilfer-Prabhakar分数階微分のSumudu変換を導出する。
• 偏微分方程式において、空間変数にはFourier変換、時間変数にはSumudu変換を適用する。
• Sumudu変換の畳み込み性質および正則化Hilfer-Prabhakar微分の定義を用いて、解の表現を導出する。
• 元の定義域に戻るため、逆Sumudu変換および逆Fourier変換を用いて解を再構成する。
• 解を、分数階の次数および記憶効果から導かれるパラメータを含む一般化Mittag-Leffler関数の無限級数として表現する。
• 変換領域における初期条件および境界条件の検証を通じて、解法プロセスの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三パラメータMittag-Leffler核を有するHilfer-Prabhakar分数階微分のSumudu変換は何か？
• RQ2 Hilfer-Prabhakar微分とその正則化版は、Mittag-Leffler関数を通じてどのように関係しているか？
• RQ3 Sumudu変換技法は、非同次型Cauchy型分数階微分方程式に対して効果的に適用可能か？
• RQ4 Hilfer-Prabhakar微分が時間分数階拡散方程式を支配する場合、解はどのような形をとるか？
• RQ5 パラメータρ, μ, ν, γ, ωは、変換領域における解の構造にどのように影響するか？

主な発見

• Hilfer-Prabhakar分数階微分のSumudu変換は、三パラメータMittag-Leffler関数および変換変数uを含む関数として導出された。
• Mittag-Leffler関数を用いて、Hilfer-Prabhakar微分とその正則化版との間の直接的な関係が確立され、正則化形態が修正されたカーネル構造に対応することが示された。
• Hilfer-Prabhakar微分を含むCauchchy問題の解は、$ E_{ ho, u(1- u)+ u(1- u)}^{ ueta} $ の形をとるMittag-Leffler関数を係数とするFourier積分として表現された。
• 正則化版の場合、解は $ t^{n heta} E_{ ho,n heta+1}^{neta}( ho t^{ ho}) $ の形の級数展開として与えられた。ここで $ heta = u $ である。
• Hilfer-Prabhakar微分を用いた時間分数階拡散方程式の解は、$ \rho > 0 $、$ \text{Re}(\rho) > 0 $、および $ \text{Re}(\nu(1-\nu)) > 0 $ の条件下で収束することが示された。
• Prabhakarカーネルの使用を通じて、本手法は、累乗則の記憶効果を有する分数階モデルに、古典的拡散解を一般化することに成功した。