[論文レビュー] Super-convergence analysis on exponential integrator for stochastic heat equation driven by additive fractional Brownian motion

Jialin Hong, Chuying Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hurstenパラメータ $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ を持つ無限次元分数 Browm運動によって駆動される確率的偏微分方程式の完全離散化において、時間方向における最初のスーパー収束結果を確立した。Malliavin微積分、Skorohod積分の $ L^p $-推定、およびラプラシアンの滑らか化効果を組み合わせることで、初期データ、非線形項、およびノイズに適切な正則性仮定を置くと、指数型積分子が時間方向に強収束次数 1 を達成することを証明した。これは解の時間 Hölder 正則性を上回るため、分数ノイズを有する SPDE において時間方向にスーパー収束現象を示すものである。

ABSTRACT

In this paper, we consider the strong convergence order of the exponential integrator for the stochastic heat equation driven by an additive fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. By showing the strong order one of accuracy of the exponential integrator under appropriote assumptions, we present the first super-convergence result in temporal direction on full discretizations for stochastic partial differential equations driven by infinite dimensional fractional Brownian motions with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. The proof is a combination of Malliavin calculus, the $L^p(Ω)$-estimate of the Skorohod integral and the smoothing effect of the Laplacian operator.

研究の動機と目的

• 無限次元分数 Browm運動（$ H \in (\frac{1}{2}, 1) $）によって駆動される確率的熱方程式の完全離散化における、時間方向における最初のスーパー収束結果を確立すること。
• 初期データ、非線形項、ノイズに適切な正則性仮定を置いた場合の、確率的熱方程式に対する指数型積分子の強収束次数を分析すること。
• fBm による SPDE に対して Burkholder–Davis–Gundy 不等式が成立しないという点を克服するため、Malliavin微積分と Skorohod 積分の $ L^p $-推定を用いること。
• 時間方向の収束次数が、解の時間 Hölder 正則性を上回ることを示し、解の Hölder 連続性が $ H $ で制限される中で、次数 1 を達成することを示すこと。

提案手法

• Hurst パラメータ $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ を持つ加法的無限次元分数 Browm運動によって駆動される確率的熱方程式の弱形式を用いる。
• 分数 Browm運動に関する Skorohod 積分を分析するために Malliavin 微積分を適用し、確率的項の精密な推定を可能にする。
• Skorohod 積分の $ L^p(\Omega) $-推定を用いて、解の確率的成分の誤差を制御する。
• 負ラプラシアンによって生成される解析的半群の滑らか化効果を活用し、解の時間的挙動における正則性を向上させる。
• グローバル誤差を確定的および確率的成分に分解し、後者を分数級数法と Malliavin 統合技術を用いて分析することで誤差評価を導出する。
• ラプラシアンのスペクトル分解と固有値 $ \lambda_i = i^2\pi^2 $ に対する推定を用いて、ヒルベルト＝シュミットノルムにおける誤差項の和の収束性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元分数 Browm運動によって駆動される SPDE に対して、指数型積分子は解の時間 Hölder 正則性を上回る強収束次数を達成できるか？
• RQ2 加法的分数 Browm ノイズを有する確率的熱方程式に対して、指数型積分子の時間方向の正確な強収束次数は何か？
• RQ3 Malliavin 微積分と $ L^p $-推定をどのように効果的に組み合わせて、SPDE における分数 Browm 運動によって駆動される確率的積分を分析できるか？
• RQ4 初期データ、非線形項、ノイズにどのような正則性条件を置けば、このような SPDE の完全離散化における時間方向のスーパー収束が生じるか？
• RQ5 指数型積分子の収束次数は $ H $ より厳密に大きくなるか？また、正則性パラメータ $ \gamma $ に依存するか？

主な発見

• 初期データ、非線形項、ノイズに仮定 1–3 を置き、$ \gamma > \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ を満たす場合、加法的無限次元分数 Browm 運動によって駆動される確率的熱方程式に対して、指数型積分子は時間方向に強収束次数 1 を達成する。
• この結果は、無限次元分数 Browm 運動によって駆動される SPDE の完全離散化における、時間方向における最初のスーパー収束現象を示すものである。
• 収束次数は、解の時間 Hölder 連続性（$ H $ で制限される）を上回るため、スーパー収束が確認された。
• 証明は、Skorohod 積分の推定に Malliavin 微積分を、確率的誤差の制御に $ L^p $-推定を用いるとともに、ラプラシアン作用素の滑らか化効果を組み合わせたものである。
• 誤差境界が空間 $ L^2 $-ノルムで $ \mathcal{O}(h^2) $ であることが示され、時間収束次数が 1 であるため、平均二乗意味で全体として $ \mathcal{O}(h^2) $ の誤差が得られる。
• 著者らは、$ 1 < \gamma \leq \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ の場合、収束次数が $ H $ と 1 の間にあると予想しており、これは $ \gamma $ に非自明な依存関係があることを示唆している。