[論文レビュー] Super edge-connectivity and matching preclusion of data center networks

Huazhong Lü, Tingzeng Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Interconnection Networks and Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、DCellデータセンターネットワークの超エッジ連結性およびマッチング予防性の性質を確立し、$D_{k,n}$ が $k \geq 2, n \geq 2$ のとき超λであり、$k \geq 3, n \geq 2$ または $k=2,n=2$ のとき超λ₂であり、$k \geq 4, n \geq 3$ のとき超λ₃であることを証明している。さらに、$mp(D_{k,n}) = n+k-1$ および $mp_1(D_{k,n}) = 2n+2k-5$（$k \geq 3, n \geq 3$）であることが特定され、$D_{k,n}$ が特定の条件下で超マッチングおよび条件付き超マッチングであることを示している。

ABSTRACT

Edge-connectivity is a classic measure for reliability of a network in the presence of edge failures. $k$-restricted edge-connectivity is one of the refined indicators for fault tolerance of large networks. Matching preclusion and conditional matching preclusion are two important measures for the robustness of networks in edge fault scenario. In this paper, we show that the DCell network $D_{k,n}$ is super-$λ$ for $k\geq2$ and $n\geq2$, super-$λ_2$ for $k\geq3$ and $n\geq2$, or $k=2$ and $n=2$, and super-$λ_3$ for $k\geq4$ and $n\geq3$. Moreover, as an application of $k$-restricted edge-connectivity, we study the matching preclusion number and conditional matching preclusion number, and characterize the corresponding optimal solutions of $D_{k,n}$. In particular, we have shown that $D_{1,n}$ is isomorphic to the $(n,k)$-star graph $S_{n+1,2}$ for $n\geq2$.

研究の動機と目的

• DCellネットワーク $D_{k,n}$ の $k$-制限エッジ連結性を解析し、信頼性および耐障害性を評価すること。
• エッジ障害下での耐障害性の指標として、マッチング予防数 $mp(D_{k,n})$ および条件付きマッチング予防数 $mp_1(D_{k,n})$ を特定すること。
• 最適なマッチング予防集合の特徴を特定し、$D_{k,n}$ が超マッチングまたは条件付き超マッチングであるかどうかを立証すること。
• $D_{1,n}$ と $(n+1,2)$-スターグラフ $S_{n+1,2}$ の構造的関係を明らかにし、$n \geq 2$ のとき同型であることを示すこと。

提案手法

• エッジカットの分離性および連結性の上限を用いて、$k \geq 2, n \geq 2$ のとき $D_{k,n}$ が超λであることを証明した。
• $k$-制限エッジカット解析および最小エッジカットの特徴付けを用いて、超λ₂および超λ₃の性質を確立した。
• $k$-制限エッジ連結性の結果を活用し、$\lambda_k(G) = \xi_k(G)$ が成り立つ $\lambda_k$-最適グラフにおいて、マッチング予防数の上限を導出した。
• 定理4.2～4.6を適用し、エッジ連結性の性質とマッチング予防性を結びつけた。$\alpha(G)$（独立数）の上限を用いて、非自明な障害集合を除外した。
• $D_{1,n}$ における半自明なマッチング予防集合を定義・分析し、偶数 $n$ の場合に最適解における役割を示した。
• 正則性（$r = n+k-1$）およびエッジ削除後のコンポーネントの挙動といった $D_{k,n}$ の構造的性質を用いて、超マッチング性を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $D_{k,n}$ が超λ、超λ₂、または超λ₃であるような $k$ および $n$ の値は何か？
• RQ2 マッチング予防数 $mp(D_{k,n})$ の正確な値は何か？ また、ネットワークが超マッチングであるのはどのような場合か？
• RQ3 条件付きマッチング予防数 $mp_1(D_{k,n})$ は何か？ また、$D_{k,n}$ が条件付き超マッチングであるのはどのような条件下か？
• RQ4 $D_{1,n}$ の構造は $(n+1,2)$-スターグラフ $S_{n+1,2}$ とどのように関係しているか？ また、この同型性はマッチング予防性にどのような意味を持つのか？
• RQ5 非自明な最適マッチング予防集合が $D_{k,n}$ に存在しうるか？ また、すべての最適集合が自明または半自明であるのはどのような条件下か？

主な発見

• DCellネットワーク $D_{k,n}$ はすべての $k \geq 2$ および $n \geq 2$ に対して超λであり、エッジ障害下でも高い耐障害性を示している。
• $D_{k,n}$ は $k \geq 3, n \geq 2$ または $k=2, n=2$ のとき超λ₂であり、$k \geq 4, n \geq 3$ のとき超λ₃である。これは複数のエッジ障害に対する洗練された耐障害性を確認している。
• マッチング予防数は $k \geq 2, n \geq 2$ のとき $mp(D_{k,n}) = n + k - 1$ であり、$D_{k,n}$ は超マッチングである。これはすべての最適解が自明であることを意味する。
• $k \geq 3, n \geq 3$ のとき、条件付きマッチング予防数は $mp_1(D_{k,n}) = 2n + 2k - 5$ であり、$D_{k,n}$ は条件付き超マッチングである。
• $k \geq 2, n = 2$ のとき、条件付きマッチング予防数は $mp_1(D_{k,2}) = 2n + 2k - 4$ であり、$k \geq 3$ のとき $D_{k,2}$ は条件付き超マッチングである。
• $n \geq 2$ のとき $D_{1,n}$ は $(n+1,2)$-スターグラフ $S_{n+1,2}$ と同型であり、$mp(D_{1,n}) = n$ である。超マッチング性は $n$ の偶奇に依存する。