[論文レビュー] Super edge-magic deficiency of join-product graphs

Anak Agung Gede Ngurah, Rinovia Simanjuntak|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の結合積グラフ、すなわち1本のスポークを除いたホイルグラフおよびパス、スターブロック、サイクルと孤立頂点の結合積について、超辺魔的欠陥の性質を調査する。本稿では、これらのグラフが有限な超辺魔的欠陥を持つことを証明し、特に $K_{1,n} + \overline{K_m}$ および $C_n + \overline{K_m}$ のような特定の族に対して、タイトな上界と下界を確立する。また、任意の超辺魔的グラフと孤立頂点の結合に対して、有限な欠陥を持つことを保証するラベリング構成を用いて、一般化を図る。

ABSTRACT

A graph $G$ is called extit{super edge-magic} if there exists a bijective function $f$ from $V(G) \cup E(G)$ to $\{1, 2, \ldots, |V(G) \cup E(G)|\}$ such that $f(V(G)) = \{1, 2, \ldots, |V(G)|\}$ and $f(x) + f(xy) + f(y)$ is a constant $k$ for every edge $xy$ of $G$. Furthermore, the extit{super edge-magic deficiency} of a graph $G$ is either the minimum nonnegative integer $n$ such that $G \cup nK_1$ is super edge-magic or $+\infty$ if there exists no such integer. \emph{Join product} of two graphs is their graph union with additional edges that connect all vertices of the first graph to each vertex of the second graph. In this paper, we study the super edge-magic deficiencies of a wheel minus an edge and join products of a path, a star, and a cycle, respectively, with isolated vertices.

研究の動機と目的

• ホイルグラフから1本のスポークを除いたグラフ $W_n - \{e\}$ の超辺魔的欠陥を特定し、その有限性を確立すること。
• パス、スターブロック、サイクルと孤立頂点の結合積 $P_n + \overline{K_m}$, $K_{1,n} + \overline{K_m}$, $C_n + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥を分析すること。
• 任意の超辺魔的グラフと $m$ 個の孤立頂点の結合が有限な超辺魔的欠陥を持つことを示す一般化を達成すること。
• $K_{1,n} + \overline{K_m}$ および $C_n + \overline{K_m}$ の、さまざまな $n$ と $m$ に対する欠陥のタイトな上界と下界を提供すること。
• 今後の研究のための未解決問題を提示し、境界の改善や特定のグラフ族に対する正確な欠陥の特定を促すこと。

提案手法

• 超辺魔的グラフを特徴付けるために、辺の和が $q$ 個の連続整数からなる集合を形成する頂点ラベリングを用いるため、補題1を用いる。
• 超辺魔的グラフであるための必要条件である $q \leq 2p - 3$ を与える補題2を適用する。
• $K_{1,n} + \overline{K_m}$ に対して、値 $\{n+2\}, \{2,3,\dots,n+1\}, \{1, 2(n+1), \dots, m(n+1)\}$ を用いて明示的な頂点ラベリングを構成し、定義された魔導定数を持つ超辺魔的ラベリングを達成する。
• 奇数の $n$ に対して $C_n + \overline{K_m}$ について、インデックスの偶奇に基づく頂点ラベリングを定義し、孤立頂点に値 $\{1, 2n+1, 3n+1, \dots, mn+1\}$ を割り当てる。
• ラベリング拡張技術を用いて、$t$ 個の孤立頂点を追加することでグラフが超辺魔的になることを示し、これにより欠陥をバウンディングする。
• 任意の超辺魔的グラフ $G$ に対して、$m$ 個の孤立頂点に値 $\{s, s+|V(G)|, \dots, s+(m-1)|V(G)|\}$ を割り当てるという構成を一般化し、$s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ のとき、1本のスポークを除いたホイルグラフ $W_n - \{e\}$ の超辺魔的欠陥は何か？
• RQ2 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥のタイトな上界と下界は何か？
• RQ3 $n$ が偶数のとき、$C_n + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥に対して上界を確立できるか？
• RQ4 任意の超辺魔的グラフ $G$ に対して、$G + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥は有限か？
• RQ5 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ の固定された $n$ や $m$ に対して、$\mu_s(G + \overline{K_m})$ の正確な値は何か？

主な発見

• $e$ がスポークであるとき、$H_n \cong W_n - \{e\}$ は $n \leq 4$ である場合に限り超辺魔的であり、したがって $n \leq 4$ のとき欠陥は 0 である。
• $n, m \geq 2$ のとき、$K_{1,n} + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥は $\lceil \frac{1}{2}(n-1)(m-1) \rceil \leq \mu_s(K_{1,n} + \overline{K_m}) \leq n(m-1) - 1$ を満たす。
• 奇数の $n \geq 3$ のとき、$C_n + \overline{K_m}$ の超辺魔的欠陥は $\mu_s(C_n + \overline{K_m}) \leq mn - (n + m) + 1$ を満たす。
• $n \geq 3$, $m \geq 2$ のとき、$\mu_s(C_n + \overline{K_m})$ の下界は $\lfloor \frac{1}{2}(m+1)n \rfloor - (n + m) + 2$ である。
• 任意の超辺魔的グラフ $G$ に対して、$G + \overline{K_m}$ は有限な超辺魔的欠陥を持ち、$\mu_s(G + \overline{K_m}) \leq s + (m-2)|V(G)| - m$ でバウンディングされる。ここで $s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$ である。
• 本稿は、任意の超辺魔的グラフと孤立頂点の結合積が有限な超辺魔的欠陥を持つグラフを生じることを確立し、パス、スターブロック、サイクルに関する先行研究を一般化する。