[論文レビュー] Super-potentials, densities of currents and number of periodic points for holomorphic maps

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカーラー多様体上の正の閉じたカレントのウェッジ積を、スーパーポテンシャルと密度を用いて統一的な枠組みで確立し、2つの既存の手法の等価性を証明する。この理論を応用して、単純なコhomological作用をもつ正則写像の孤立した周期的点の数に対する鋭い上界を導出し、作用が単純で均衡カレントに連続なスーパーポテンシャルがあるとき、その上界は写像の位相的次数に丁度一致することを示す。

ABSTRACT

We prove that if a positive closed current is bounded by another one with bounded, continuous or Hoelder continuous super-potentials, then it inherits the same property. There are two different methods to define wedge-products of positive closed currents of arbitrary bi-degree on compact Kaehler manifolds using super-potentials and densities. When the first method applies, we show that the second method also applies and gives the same result. As an application, we obtain a sharp upper bound for the number of isolated periodic points of holomorphic maps on compact Kaehler manifolds whose actions on cohomology are simple. A similar result still holds for a large class of holomorphic correspondences.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体上での任意のバイ次数の正の閉じたカレントのウェッジ積を定義する2つの異なるアプローチ—スーパーポテンシャルと密度—を統一すること。
• 両手法が適用可能な場合、それらが同じカレントを導くことを確立することで、両者の利点を統合すること。
• 洗練された交差理論を用いて、正則写像および対応写像の孤立した周期的点の数を上界で制約すること。
• コhomological作用が単純で、均衡カレントに連続なスーパーポテンシャルがあるとき、孤立した周期的点の数が位相的次数によって上界で抑えられることを証明すること。

提案手法

• 参照形式とコhomology類を用いて、正の閉じたカレントのスーパーポテンシャルを定義し、ストークスの定理により選択の独立性を保証する。
• カレント空間における収束を定義するために、カレント上の*-ノルムを導入し、質量が有界な弱位相を用いる。
• あるカレントが、有界、連続、またはホルダー連続なスーパーポテンシャルを持つ別のカレントに支配されている場合、そのカレントが同じ正則性性質を継承することを証明する。
• スーパーポテンシャルの支配原理を用いて、引き戻しおよび押し出し写像によるカレントの成長を制御する。
• 正則写像に理論を適用するため、コhomology上での引き戻し作用を分析し、正規化されたグラフの弱極限を用いて均衡カレントを構成する。
• 正規化されたグラフの収束が均衡カレントとその双対のテンソル積に一致することを活用し、対角線との交差数に関する補題を適用して周期的点の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカーラー多様体上で、正の閉じたカレントのウェッジ積を定義するスーパーポテンシャル法と密度法が、どのような条件下で同じ結果をもたらすか。
• RQ2 スーパーポテンシャルの正則性（有界性、連続性、ホルダー連続性）が、支配されるカレントに継承されるか。
• RQ3 コhomological作用が単純なコンパクトなカーラー多様体上の正則写像の孤立した周期的点の数に対する鋭い上界は何か。
• RQ4 均衡カレントに連続なスーパーポテンシャルが存在する場合、周期的点の数にどのような影響を与えるか。
• RQ5 接線的h次元と対角線とのカップ積が、グラフと対角線の交差数を制限するために果たす役割は何か。

主な発見

• スーパーポテンシャル法と密度法の両方が適用可能な場合、正の閉じたカレントのウェッジ積を定義する2つの手法は等価であり、複素幾何学における2つのアプローチを統一する。
• 有界、連続、またはホルダー連続なスーパーポテンシャルを持つカレントに支配される正の閉じたカレントは、同じ正則性性質を継承する。
• コhomological作用が単純で、均衡カレントに連続なスーパーポテンシャルがある場合、コンパクトなカーラー多様体上の正則写像の孤立した周期的点の数は、写像の位相的次数によって上界で抑えられる。
• 写像の反復の正規化されたグラフは、均衡カレントとその双対のテンソル積に弱収束するため、交差理論の適用が可能になる。
• 極限カレントと対角線の交差数はちょうど1であり、これにより補題5.11（交差多重度に関する）を用いて鋭い上界が得られる。
• 上界は鋭い：均衡カレントに連続なスーパーポテンシャルがあり、コhomology上の作用が単純な場合、極限カレントの標準的スーパーポテンシャルが消えることから、等号が成立することが示される。